Exercice 24

1. On a $\frac{s + t}{2} - \sqrt{st} = \frac{1}{2}(\sqrt{s} - \sqrt{t})^{2} \geqslant 0$. Par récurrence, $u_{n}$ et $v_{n}$ sont strictement positifs, et la racine carrée a un sens ; la première inégalité donne $v_{n+1} \leqslant u_{n+1}$. $$\boxed{\sqrt{st} \leqslant \frac{s + t}{2}, \qquad v_{n} \leqslant u_{n} \text{ pour tout } n}$$ 2. Comme $v_{n} \leqslant u_{n}$, on a $u_{n+1} = \frac{u_{n} + v_{n}}{2} \leqslant u_{n}$ et $v_{n+1} = \sqrt{u_{n}v_{n}} \geqslant \sqrt{v_{n}^{2}} = v_{n}$. De plus $$0 \leqslant u_{n+1} - v_{n+1} \leqslant u_{n+1} - v_{n} = \frac{u_{n} - v_{n}}{2},$$ d'où $u_{n} - v_{n} \leqslant \frac{a - b}{2^{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. $$\boxed{(u_{n}) \text{ et } (v_{n}) \text{ sont adjacentes}}$$ 3. D'après la question 1, $u_{n+1} - v_{n+1} = \frac{1}{2}(\sqrt{u_{n}} - \sqrt{v_{n}})^{2}$, et $\sqrt{u_{n}} - \sqrt{v_{n}} = \frac{u_{n} - v_{n}}{\sqrt{u_{n}} + \sqrt{v_{n}}}$. Comme $u_{n} \geqslant v_{n} \geqslant b$, on a $(\sqrt{u_{n}} + \sqrt{v_{n}})^{2} \geqslant 4b$. $$\boxed{u_{n+1} - v_{n+1} = \frac{(u_{n} - v_{n})^{2}}{2(\sqrt{u_{n}} + \sqrt{v_{n}})^{2}} \leqslant \frac{(u_{n} - v_{n})^{2}}{8b}}$$ Pour $a = 2$ et $b = 1$, on calcule $u_{1} - v_{1} = \frac{3}{2} - \sqrt{2} \approx 0{,}0858$, puis la majoration donne $u_{2} - v_{2} \leqslant 9{,}2 \times 10^{-4}$, $u_{3} - v_{3} \leqslant 1{,}1 \times 10^{-7}$ et $u_{4} - v_{4} \leqslant 1{,}4 \times 10^{-15}$. $$\boxed{\text{quatre étapes suffisent : } M(2, 1) \approx 1{,}456\,791\,031}$$ La moyenne arithmético-géométrique, étudiée par Lagrange puis par Gauss, converge quadratiquement comme la méthode de Héron ; elle intervient aujourd'hui dans les algorithmes qui calculent $\pi$ avec un très grand nombre de décimales.