Exercice 25

On applique la méthode du cours : on extrait deux suites de limites différentes (proposition 11).

(a) $u_{2n} = \frac{2n}{2n + 1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1$ et $u_{2n+1} = -\frac{2n + 1}{2n + 2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} -1$. $\boxed{\text{divergente}}$

(b) $u_{8n} = \frac{1}{8n + 1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ et $u_{8n+2} = 1 + \frac{1}{8n + 3} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1$. $\boxed{\text{divergente}}$

(c) $u_{2n} = 2n \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$ et $u_{2n+1} = \frac{1}{2n + 1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. $\boxed{\text{divergente, non bornée, sans limite infinie}}$

(d) Soit $T$ une période et $i$, $j$ deux indices tels que $u_{i} \neq u_{j}$. Les suites extraites $(u_{i + kT})_{k}$ et $(u_{j + kT})_{k}$ sont constantes, égales à $u_{i}$ et à $u_{j}$. $\boxed{\text{divergente}}$

La suite (c) montre qu'une suite non majorée peut ne pas tendre vers $+\infty$ : il faut que tous les termes finissent par dépasser $A$, pas seulement certains.