Exercice 26

1. Notons $a$, $b$, $c$ les limites de $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{3n})$. La suite $(u_{6n})$ est extraite de $(u_{2n})$ et de $(u_{3n})$, donc $a = c$. La suite $(u_{6n+3})$ est extraite de $(u_{3n})$, car $6n + 3 = 3(2n + 1)$, et de $(u_{2n+1})$, car $6n + 3$ est impair : donc $b = c$. Ainsi $a = b$, et la proposition 11 (ii) conclut. $$\boxed{(u_{n}) \text{ converge}}$$ 2. On a $u_{2n+1} - u_{2n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} b - a$, et cette suite est extraite de $(u_{n+1} - u_{n})$, qui tend vers $0$ : donc $a = b$. $\boxed{(u_{n}) \text{ converge}}$

3. Soit $\ell$ et $\ell'$ les limites. La suite $(u_{2n})$ tend vers $\ell$ et vers $\ell'$ ; la suite $(-u_{2n+1})$ tend vers $-\ell$ et vers $\ell'$. Donc $\ell = \ell' = -\ell$. $\boxed{u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0}$