ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 7 — Nombres réels et suites numériques · Suites extraites et théorème de Bolzano-Weierstrass

Exercice 27

Démonstration

Soit $(u_{n})$ une suite croissante.

1. On suppose que $(u_{n})$ admet une suite extraite majorée. Montrer que $(u_{n})$ converge.

2. On suppose que $(u_{n})$ admet une suite extraite convergente, de limite $\ell$ . Montrer que $u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell$ .

3. Une suite croissante dont aucune suite extraite ne converge tend-elle vers $+\infty$  ?

Corrigé

1. Soit $(u_{\varphi(n)})$ majorée par $M$ . Pour tout $n$ , on a $\varphi(n) \geqslant n$ , donc $u_{n} \leqslant u_{\varphi(n)} \leqslant M$ par croissance : $(u_{n})$ est majorée, et elle converge (théorème 8). $\boxed{(u_{n}) \text{ converge}}$

2. Une suite convergente est bornée : la question 1 montre que $(u_{n})$ converge vers un réel $\ell'$ , et la suite extraite converge vers $\ell'$ et vers $\ell$ , d'où $\ell' = \ell$ . $\boxed{u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell}$

3. Oui : si $(u_{n})$ était majorée, elle convergerait et toutes ses suites extraites aussi ; elle n'est donc pas majorée, et le théorème 8 donne $\boxed{u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty}$ .

Pour une suite monotone, une seule suite extraite suffit donc à connaître le comportement de toute la suite.

Énoncé PDF, p. 8 Corrigé PDF, p. 15 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Suites extraites Théorème de Bolzano-Weierstrass Majorants, plus grand élément, borne supérieure Suite convergente, limite Théorème de la limite monotone

Thèmes

suites extraites, majorants, limites de suites, suites monotones

Notions

suite extraite, majorant, limite d'une suite