Exercice 28

1. Les formules d'addition du chapitre 4 donnent : $$\boxed{\cos\big((n + 1)\theta\big) + \cos\big((n - 1)\theta\big) = 2\cos(n\theta)\cos\theta \qquad \cos\big((n + 1)\theta\big) = \cos(n\theta)\cos\theta - \sin(n\theta)\sin\theta}$$ 2. Les suites $\big(\cos((n \pm 1)\theta)\big)$ tendent aussi vers $\ell$, et le passage à la limite dans la première formule donne $2\ell = 2\ell\cos\theta$. Comme $\theta \notin \pi\mathbb{Z}$, $\cos\theta \neq 1$, donc $\ell = 0$. La seconde formule, avec $\sin\theta \neq 0$, donne alors $$\sin(n\theta) = \frac{\cos(n\theta)\cos\theta - \cos\big((n + 1)\theta\big)}{\sin\theta} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0,$$ d'où $\cos^{2}(n\theta) + \sin^{2}(n\theta) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$, alors que cette somme vaut $1$. $\boxed{\big(\cos(n\theta)\big) \text{ diverge}}$

3. De même, $\sin\big((n + 1)\theta\big) + \sin\big((n - 1)\theta\big) = 2\sin(n\theta)\cos\theta$ impose une limite nulle à $\big(\sin(n\theta)\big)$, puis la formule $$\sin\big((n + 1)\theta\big) = \sin(n\theta)\cos\theta + \cos(n\theta)\sin\theta$$ donne $\cos(n\theta) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ : même contradiction. $\boxed{\big(\sin(n\theta)\big) \text{ diverge}}$

4. Si $\theta = k\pi$, on a $\sin(n\theta) = 0$ et $\cos(n\theta) = (-1)^{kn}$ : cette suite est constante si $k$ est pair, et égale à $\big((-1)^{n}\big)$, divergente, si $k$ est impair.

Il est remarquable que l'on démontre la divergence sans rien savoir de la répartition des valeurs $\cos(n\theta)$ ; l'exercice 54 montrera que, pour $\theta = 1$, elles remplissent tout le segment $[-1\,,1]$.