ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 7 — Nombres réels et suites numériques · Suites extraites et théorème de Bolzano-Weierstrass

Exercice 29

Démonstration

1. Soit $(u_{n})$ une suite telle que, pour tout entier $k \geqslant 2$ , la suite extraite $(u_{kn})_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers un réel $\ell_{k}$ . En considérant $(u_{kk'n})$ , montrer que tous les $\ell_{k}$ sont égaux.

2. On définit $u_{n} = 1$ si $n$ est un nombre premier, et $u_{n} = 0$ sinon. Montrer que, pour tout $k \geqslant 2$ , la suite $(u_{kn})$ converge, mais que $(u_{n})$ diverge. On utilisera l'existence d'une infinité de nombres premiers (chapitre 1).

3. Conclure : la convergence de toutes les suites $(u_{kn})$ , pour $k \geqslant 2$ , entraîne-t-elle celle de $(u_{n})$  ?

Corrigé

1. Pour $k$ , $k' \geqslant 2$ , la suite $(u_{kk'n})_{n}$ est extraite de $(u_{kn})_{n}$ , avec l'extractrice $n \mapsto k'n$ , et de $(u_{k'n})_{n}$ . Elle tend donc vers $\ell_{k}$ et vers $\ell_{k'}$ . $\boxed{\ell_{k} = \ell_{k'}}$

2. Pour $k \geqslant 2$ et $n \geqslant 2$ , l'entier $kn$ n'est pas premier, donc $u_{kn} = 0$ : $\boxed{u_{kn} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0}$ . En revanche, si $p_{0} < p_{1} < \cdots$ désigne la suite des nombres premiers, infinie d'après le chapitre 1, la suite extraite $(u_{p_{m}})$ est constante égale à $1$ , alors que $(u_{2n})$ tend vers $0$ . $\boxed{(u_{n}) \text{ diverge}}$

3. $\boxed{\text{Non}}$ : une infinité de suites extraites convergentes, de même limite, ne suffit pas, dès qu'elles laissent échapper une suite d'indices, ici les nombres premiers. La proposition 11 (ii) du cours fonctionne parce que les indices pairs et impairs recouvrent tout $\mathbb{N}$ .

Énoncé PDF, p. 8 Corrigé PDF, p. 15 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Suites extraites Théorème de Bolzano-Weierstrass Suite convergente, limite Limites infinies et comparaison

Thèmes

suites extraites, limites de suites, limites infinies

Notions

suite extraite, limite d'une suite, limite infinie