Exercice 30

1. Rangeons les pics par ordre croissant : $n_{0} < n_{1} < n_{2} < \cdots$. Comme $n_{k}$ est un pic et $n_{k+1} > n_{k}$, on a $u_{n_{k+1}} < u_{n_{k}}$. $\boxed{(u_{n_{k}}) \text{ est strictement décroissante}}$

2. Soit $n_{0}$ un entier strictement supérieur à tous les pics. Il n'est pas un pic : il existe $n_{1} > n_{0}$ tel que $u_{n_{1}} \geqslant u_{n_{0}}$. L'entier $n_{1}$, supérieur à $n_{0}$, n'est pas non plus un pic, et l'on recommence. $\boxed{(u_{n_{k}}) \text{ est croissante}}$

3. Dans les deux cas, $(u_{n})$ a une suite extraite monotone. Si $(u_{n})$ est bornée, cette suite extraite est monotone et bornée, donc convergente (théorème 8). $\boxed{\text{c'est le théorème de Bolzano-Weierstrass}}$

Cette preuve remplace la dichotomie du cours par un argument purement combinatoire ; le résultat « toute suite réelle a une suite extraite monotone » est plus fort que le théorème, puisqu'il ne suppose pas la suite bornée.