Exercice 31

1. On construit l'extractrice par récurrence. Comme $(u_{n})$ n'est pas majorée, il existe $\varphi(0)$ tel que $u_{\varphi(0)} > 0$. Si $\varphi(n)$ est construit, le réel $\max(n + 1, u_{0}, \dots, u_{\varphi(n)})$ ne majore pas la suite : il existe $k$ tel que $u_{k}$ le dépasse, et nécessairement $k > \varphi(n)$. On pose $\varphi(n + 1) = k$ ; alors $u_{\varphi(n+1)} > n + 1$. $$\boxed{u_{\varphi(n)} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty}$$ 2. Soit $A > 0$. Si une infinité d'indices vérifiaient $|u_{n}| \leqslant A$, ils formeraient une suite extraite bornée, dont le théorème de Bolzano-Weierstrass extrairait une suite convergente, qui serait extraite de $(u_{n})$. Il n'y en a donc qu'un nombre fini, et au-delà du plus grand, $|u_{n}| > A$. $$\boxed{|u_{n}| \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty}$$ 3. Une suite extraite $(z_{\psi(n)})$ convergente vérifierait $|z_{\psi(n+1)} - z_{\psi(n)}| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$, ce qui contredit $|z_{p} - z_{q}| \geqslant 1$. La question 2, valable pour les suites complexes grâce au théorème de Bolzano-Weierstrass complexe du cours, donne : $$\boxed{|z_{n}| \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty}$$ Géométriquement, des points du plan deux à deux distants d'au moins $1$ ne peuvent être qu'en nombre fini dans un disque borné.