Exercice 32

Pour les suites arithmético-géométriques, on cherche la solution constante $c$ (proposition 15) ; pour les récurrences d'ordre 2, on résout l'équation caractéristique (théorème 11), puis l'on ajuste les constantes aux deux premiers termes.

• (a) Géométrique de raison $-2$ : $\boxed{u_{n} = 7(-2)^{n-1}}$ pour $n \geqslant 1$.

• (b) Géométrique de raison $\frac{1}{2}$ : $\boxed{u_{n} = \frac{3}{2^{n-1}}}$ pour $n \geqslant 1$.

• (c) $c = 6$ et $u_{n} - 6 = \frac{1}{3^{n}}(1 - 6)$ : $\boxed{u_{n} = 6 - \frac{5}{3^{n}}}$

• (d) $u_{n+1} = \frac{u_{n} - 1}{4}$, $c = -\frac{1}{3}$ : $\boxed{u_{n} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4^{n}}}$

• (e) Racine double $1$, $u_{n} = \lambda + \mu n$ : $\boxed{u_{n} = 2 - n}$

• (f) $2r^{2} + r - 1 = 0$, racines $\frac{1}{2}$ et $-1$ : $\boxed{u_{n} = \frac{4}{3 \cdot 2^{n}} - \frac{(-1)^{n}}{3}}$

• (g) $r^{2} = r + 3$, racines $r_{\pm} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$ : $$\boxed{u_{n} = \frac{13 + 3\sqrt{13}}{26}\,r_{+}^{n} + \frac{13 - 3\sqrt{13}}{26}\,r_{-}^{n}}$$

• (h) Racines $3$ et $-1$ ; les conditions initiales donnent un coefficient nul devant $3^{n}$ : $\boxed{u_{n} = (-1)^{n}}$

• (i) Racines $1 \pm \mathrm{i} = \sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}\pi/4}$ ; $\lambda = 1$ et $\sqrt{2}\big(\frac{\sqrt{2}}{2} + \mu\frac{\sqrt{2}}{2}\big) = 0$ : $\boxed{u_{n} = 2^{n/2}\Big(\cos\frac{n\pi}{4} - \sin\frac{n\pi}{4}\Big)}$

• (j) Somme des entiers (chapitre 3) : $\boxed{u_{n} = \frac{n(n + 1)}{2}}$

• (k) Par récurrence $u_{n} > 0$, et $\frac{1}{u_{n+1}} = 1 + \frac{1}{u_{n}}$ : la suite $\big(\frac{1}{u_{n}}\big)$ est arithmétique. $\boxed{u_{n} = \frac{1}{n}}$

• (l) Par récurrence $u_{n} > 0$, et $v_{n} = \ln u_{n}$ vérifie $v_{n+1} = 2v_{n} + \ln 2$, de solution constante $-\ln 2$, d'où $v_{n} + \ln 2 = 2^{n}\ln 2$. $\boxed{u_{n} = 2^{2^{n} - 1}}$

On vérifie chaque fois sur les premiers termes : en (g), $1$, $2$, $5$, $11$, $26$ ; en (i), $1$, $0$, $-2$, $-4$, $-4$. En (h), une seule des deux suites géométriques survit : les conditions initiales peuvent « éteindre » une racine caractéristique.