Exercice 33

1. Un entier à trois chiffres contient « 13 » s'il s'écrit $13x$, ce qui donne $10$ entiers, ou $y13$ avec $y \neq 0$, ce qui en donne $9$ ; les deux cas sont incompatibles, puisque le chiffre central vaudrait $1$ et $3$. $$\boxed{u_{3} = 900 - 19 = 881}$$ 2. Un entier valide à $n + 2$ chiffres s'obtient en ajoutant un chiffre à droite d'un entier valide à $n + 1$ chiffres, ce qui donne $10u_{n+1}$ entiers, dont il faut retirer ceux qui se terminent par $13$. Ces derniers s'écrivent $w13$, où $w1$ est valide, c'est-à-dire où $w$ est un entier valide à $n$ chiffres, puisque l'ajout d'un $1$ ne crée pas de séquence « 13 » ; pour $n = 0$, le seul cas est l'entier $13$. Il y en a $u_{n}$. $$\boxed{u_{n+2} = 10u_{n+1} - u_{n}}$$ 3. L'équation $r^{2} = 10r - 1$ a pour racines $5 \pm 2\sqrt{6}$. Les conditions $u_{0} = 1$ et $u_{1} = 9$ donnent : $$\boxed{u_{n} = \Big(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{6}\Big)(5 + 2\sqrt{6})^{n} + \Big(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{6}}{6}\Big)(5 - 2\sqrt{6})^{n}}$$ Pour $n = 3$, la récurrence donne $u_{3} = 10 \times 89 - 9 = 881$. ✓ On a vérifié par ordinateur les valeurs jusqu'à $n = 5$, soit $86\,329$. La proportion d'entiers valides, $\frac{u_{n}}{9 \cdot 10^{n-1}}$, tend vers $0$ : presque tous les grands entiers contiennent la séquence « 13 ».