Exercice 34

1. (a) On a $f(x) = 1 - \frac{1}{2 + x}$, croissante sur $[0\,,1]$, avec $f(0) = \frac{1}{2}$ et $f(1) = \frac{2}{3}$ : l'intervalle est stable. L'équation $f(x) = x$ équivaut à $x^{2} + x - 1 = 0$. $$\boxed{\ell_{1} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0{,}618, \qquad \ell_{2} = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1{,}618}$$ (b) Pour un point fixe $\ell$, on calcule $(1 + x)(2 + \ell) - (1 + \ell)(2 + x) = x - \ell$, d'où $f(x) - \ell = \frac{x - \ell}{(2 + x)(2 + \ell)}$. En faisant le quotient pour $\ell_{1}$ et $\ell_{2}$ : $$v_{n+1} = \frac{2 + \ell_{2}}{2 + \ell_{1}}\,v_{n}, \qquad \boxed{q = \frac{2 + \ell_{2}}{2 + \ell_{1}} = \frac{3 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} \approx 0{,}146}$$ (c) On a $v_{0} = \frac{\ell_{1}}{\ell_{2}} = -\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ et $v_{n} = q^{n}v_{0} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. En résolvant, $u_{n} = \frac{\ell_{1} - \ell_{2}v_{n}}{1 - v_{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell_{1}$, et $u_{n} - \ell_{1} = \frac{(\ell_{1} - \ell_{2})\,v_{n}}{1 - v_{n}}$. Comme $|v_{n}| \leqslant |v_{0}| < 1$ et $\ell_{1} - \ell_{2} = \sqrt{5}$ : $$\boxed{u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell_{1}, \qquad |u_{n} - \ell_{1}| \leqslant \frac{\sqrt{5}\,|v_{0}|}{1 - |v_{0}|}\,q^{n} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}\,q^{n}}$$ Pour $n = 6$, la majoration donne $1{,}3 \times 10^{-5}$, et l'écart réel est $8{,}2 \times 10^{-6}$.

2. (a) L'équation $f(x) = x$ équivaut à $x^{2} + 2x + 1 = 0$ : $\boxed{\ell = -1}$, point fixe double. On a $f(x) = 1 - \frac{4}{x + 3}$, croissante sur $]-3\,,+\infty[$, et $f\big(\,]-1\,,0]\big) = \,]-1\,,-\frac{1}{3}]$ : par récurrence, $u_{n} \in \,]-1\,,0]$, donc $u_{n} \neq -1$.

(b) On a $f(x) + 1 = \frac{2(x + 1)}{x + 3}$, d'où $\frac{1}{f(x) + 1} = \frac{(x + 1) + 2}{2(x + 1)} = \frac{1}{2} + \frac{1}{x + 1}$. Ainsi $w_{n+1} = w_{n} + \frac{1}{2}$, avec $w_{0} = 1$. $$\boxed{w_{n} = \frac{n + 2}{2}, \qquad u_{n} = -1 + \frac{2}{n + 2} = -\frac{n}{n + 2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} -1}$$ 3. Dans le premier cas, l'écart décroît géométriquement, d'un facteur $0{,}146$ environ à chaque étape ; dans le second, il vaut $\frac{2}{n + 2}$ et ne décroît que comme $\frac{1}{n}$ : un point fixe double ralentit considérablement la convergence.