Exercice 35

1. Les nombres $3 \pm \sqrt{5}$ ont pour somme $6$ et pour produit $4$ : ce sont les racines de $r^{2} = 6r - 4$. D'après le théorème 11, $a_{n+2} = 6a_{n+1} - 4a_{n}$, avec $a_{0} = 2$ et $a_{1} = 6$. Par récurrence double, $a_{n}$ est un entier pair, puisque $6a_{n+1} - 4a_{n}$ l'est. $$\boxed{a_{n} \in 2\mathbb{Z} : \ 2, 6, 28, 144, 752, \dots}$$ 2. Posons $\varepsilon_{n} = (3 - \sqrt{5})^{n}\pi$ ; comme $2 < \sqrt{5} < 3$, on a $0 < 3 - \sqrt{5} < 1$ et $\varepsilon_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. Alors $(3 + \sqrt{5})^{n}\pi = a_{n}\pi - \varepsilon_{n}$, et, $a_{n}$ étant pair, $\sin(a_{n}\pi - \varepsilon_{n}) = -\sin\varepsilon_{n}$. $$\big|\sin\big((3 + \sqrt{5})^{n}\pi\big)\big| \leqslant \varepsilon_{n}, \qquad\text{donc}\qquad \boxed{\sin\big((3 + \sqrt{5})^{n}\pi\big) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0}.$$ 3. Les nombres $\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ sont racines de $r^{2} = 3r - 1$ : la suite $$b_{n} = \Big(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\Big)^{n} + \Big(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\Big)^{n}$$ vérifie $b_{n+2} = 3b_{n+1} - b_{n}$, avec $b_{0} = 2$ et $b_{1} = 3$ : ses termes $2$, $3$, $7$, $18$, $47$… sont entiers, mais pas tous pairs. On a cette fois $\sin(b_{n}\pi - \varepsilon) = \pm\sin\varepsilon$, ce qui suffit : $$\boxed{\sin\Big(\Big(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\Big)^{n}\pi\Big) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0}$$ 4. Pour $n \geqslant 1$, $(3 + \sqrt{5})^{n} = a_{n} - (3 - \sqrt{5})^{n}$ est strictement compris entre les entiers consécutifs $a_{n} - 1$ et $a_{n}$. $\boxed{(3 + \sqrt{5})^{n} \notin \mathbb{Z}}$

Les puissances de $3 + \sqrt{5}$ sont donc de plus en plus proches d'entiers, sans jamais en être : c'est ce qui rend le sinus si petit, alors que pour presque tout réel $x > 1$, la suite $\sin(x^{n}\pi)$ n'a pas de limite.