Exercice 36

Avec $z_{n} = x_{n} + \mathrm{i} y_{n}$, on a $3z_{n} - \overline{z_{n}} = 2x_{n} + 4\mathrm{i} y_{n}$ : les suites $(x_{n})$ et $(y_{n})$ sont géométriques. $$\boxed{z_{n} = 2^{n}\operatorname{Re} z_{0} + \mathrm{i}\,4^{n}\operatorname{Im} z_{0}, \text{ convergente si et seulement si } z_{0} = 0}$$ Pour la seconde relation, $\frac{1}{5}(3z_{n} - 2\overline{z_{n}}) = \frac{x_{n}}{5} + \mathrm{i} y_{n}$ : $$\boxed{z_{n} = \frac{\operatorname{Re} z_{0}}{5^{n}} + \mathrm{i}\operatorname{Im} z_{0} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \mathrm{i}\operatorname{Im} z_{0}, \text{ pour tout } z_{0}}$$ La relation n'est pas $\mathbb{C}$-linéaire, à cause de la conjugaison : on ne peut pas la traiter comme une suite géométrique complexe, mais elle se découple en deux suites réelles.