Exercice 37

1. On factorise par l'angle moitié, comme au chapitre 4 : $$\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha} + 1}{2} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha/2}\,\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha/2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha/2}}{2} = \boxed{\cos\frac{\alpha}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha/2}}.$$ 2. Si $z = \rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}$, avec $\rho > 0$ et $\alpha \in \,]-\pi\,,\pi[$, alors $\frac{z + |z|}{2} = \rho\cos\frac{\alpha}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha/2}$, de module $\rho\cos\frac{\alpha}{2} > 0$ et d'argument $\frac{\alpha}{2}$. Par récurrence, pour $\theta \in \,]-\pi\,,\pi[$ : $$\boxed{z_{n} = r\Big(\prod_{k=1}^{n} \cos\frac{\theta}{2^{k}}\Big)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta/2^{n}}}$$ Si $\theta = \pi$, alors $z_{1} = 0$ et la suite est nulle à partir du rang $1$.

3. Si $\theta = 0$, la suite est constante égale à $r$. Si $\theta \in \,]0\,,\pi[$, le produit tend vers $\frac{\sin\theta}{\theta}$ d'après l'exercice 16 ; si $\theta \in \,]-\pi\,,0[$, il est inchangé quand on remplace $\theta$ par $-\theta$, et $\frac{\sin\theta}{\theta}$ aussi. Enfin $|\mathrm{e}^{\mathrm{i} t} - 1| = 2\big|\sin\frac{t}{2}\big| \leqslant |t|$ donne $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta/2^{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1$. $$\boxed{z_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} r\,\frac{\sin\theta}{\theta} \text{ si } \theta \neq 0, \qquad z_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} r \text{ si } \theta = 0}$$ Pour $\theta = \pi$, la formule donne $0$, ce qui est cohérent. Le point limite est toujours réel positif : l'opération $z \mapsto \frac{z + |z|}{2}$ divise l'argument par deux à chaque étape, et le module décroît d'un facteur qui tend vers $1$.