Exercice 38

1. On a $f(x) - x = x^{2} - x + \frac{3}{16} = \big(x - \frac{1}{4}\big)\big(x - \frac{3}{4}\big)$. $$\boxed{\text{points fixes } \frac{1}{4} \text{ et } \frac{3}{4} \ ; \ f(x) > x \text{ hors de } \Big[\frac{1}{4}\,,\frac{3}{4}\Big], \ f(x) < x \text{ à l'intérieur}}$$ 2. On a $u_{1} = u_{0}^{2} + \frac{3}{16} > 0$, et $[0\,,+\infty[$ est stable par $f$, qui y est croissante. D'après la proposition 16 (ii), $(u_{n})_{n \geqslant 1}$ est monotone, croissante si $u_{2} \geqslant u_{1}$, décroissante sinon.

3. Comme $u_{1} = f(|u_{0}|)$, tout dépend de $|u_{0}|$, et les intervalles $\big[0\,,\frac{1}{4}\big]$, $\big[\frac{1}{4}\,,\frac{3}{4}\big[$ et $\big]\frac{3}{4}\,,+\infty\big[$ sont stables par $f$, croissante, qui fixe $\frac{1}{4}$ et $\frac{3}{4}$.

• Si $|u_{0}| < \frac{3}{4}$, alors $u_{1} \in \big[\frac{3}{16}\,,\frac{3}{4}\big[$. Sur $\big[0\,,\frac{1}{4}\big]$, $f(x) \geqslant x$ : la suite croît et reste majorée par $\frac{1}{4}$. Sur $\big[\frac{1}{4}\,,\frac{3}{4}\big[$, elle décroît et reste minorée par $\frac{1}{4}$. Dans les deux cas elle converge, vers un point fixe (proposition 17) compris entre $\frac{3}{16}$ et $u_{1} < \frac{3}{4}$. $$\boxed{|u_{0}| < \frac{3}{4} \implies u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1}{4}}$$

• Si $|u_{0}| = \frac{3}{4}$, alors $\boxed{u_{n} = \frac{3}{4} \text{ pour } n \geqslant 1}$.

• Si $|u_{0}| > \frac{3}{4}$, alors $u_{1} > \frac{3}{4}$, la suite croît, et une limite finie serait un point fixe supérieur à $u_{1} > \frac{3}{4}$, ce qui n'existe pas. $$\boxed{|u_{0}| > \frac{3}{4} \implies u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty}$$

Le point fixe $\frac{1}{4}$ « attire » les suites qui démarrent près de lui ; le point fixe $\frac{3}{4}$ les « repousse ». Le chapitre 9 reliera ce comportement à la valeur de $|f'|$ au point fixe, ici $\frac{1}{2}$ et $\frac{3}{2}$.