Exercice 39

1. La fonction $f$ est décroissante sur $]0\,,+\infty[$, et $f(1) = 3$, $f(3) = \frac{5}{3}$ : $\boxed{f([1\,,3]) = \Big[\frac{5}{3}\,,3\Big] \subset [1\,,3]}$.

2. La fonction $g = f \circ f$ est croissante sur $[1\,,3]$, et $g(x) = 1 + \frac{2x}{x + 2} = \frac{3x + 2}{x + 2}$, d'où $$g(x) - x = -\frac{(x - 2)(x + 1)}{x + 2},$$ positif sur $[1\,,2]$ et négatif sur $[2\,,3]$. Comme $u_{0} = 1 \in [1\,,2]$, intervalle stable par $g$, la suite $(u_{2n})$ est croissante et majorée par $2$ ; comme $u_{1} = 3 \in [2\,,3]$, la suite $(u_{2n+1})$ est décroissante et minorée par $2$. Leurs limites sont des points fixes de $g$ dans $[1\,,3]$, et le seul est $2$. $$\boxed{u_{2n} \nearrow 2 \qquad u_{2n+1} \searrow 2}$$ 3. La proposition 11 donne $\boxed{u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 2}$. Directement : pour $n \geqslant 1$, $u_{n} \geqslant \frac{5}{3}$, et $$|u_{n+1} - 2| = \Big|\frac{2 - u_{n}}{u_{n}}\Big| \leqslant \frac{3}{5}\,|u_{n} - 2|, \qquad\text{d'où}\qquad |u_{n} - 2| \leqslant \Big(\frac{3}{5}\Big)^{n-1}.$$ Les termes $1$, $3$, $\frac{5}{3}$, $\frac{11}{5}$, $\frac{21}{11}$, $\frac{43}{21}$… sont alternativement au-dessous et au-dessus de $2$, comme le prévoyait la décroissance de $f$.