Exercice 40

(a) On a $u_{n+1} - u_{n} = \mathrm{e}^{-u_{n}} > 0$ : la suite est croissante. Si elle était majorée par $M$, on aurait $u_{n+1} - u_{n} \geqslant \mathrm{e}^{-M}$, d'où $u_{n} \geqslant 1 + n\,\mathrm{e}^{-M} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$, ce qui est contradictoire. $\boxed{u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty}$

(b) On a $f(x) - x = x^{2} \geqslant 0$ : la suite est croissante. L'intervalle $\big[-\frac{1}{2}\,,0\big]$ est stable, car $f(x) = \big(x + \frac{1}{2}\big)^{2} - \frac{1}{4} \in \big[-\frac{1}{4}\,,0\big]$ pour $x$ dans cet intervalle. Croissante et majorée par $0$, la suite converge vers un point fixe, donc vers $0$, seule solution de $\ell^{2} = 0$. $\boxed{u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0}$

Plus généralement, si $u_{0} \in [-1\,,0]$, alors $u_{1} = u_{0}(1 + u_{0}) \in \big[-\frac{1}{4}\,,0\big]$ et $u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. Si $u_{0} > 0$, la suite croît, et une limite finie serait un point fixe supérieur à $u_{0} > 0$ : $u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$. Si $u_{0} < -1$, alors $u_{1} > 0$ et l'on est ramené au cas précédent. $$\boxed{u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } u_{0} \in [-1\,,0], \qquad u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty \text{ sinon}}$$ (c) L'intervalle $[0\,,1]$ est stable, puisque $0 \leqslant \sin x \leqslant x$ sur cet intervalle ; la suite est décroissante et minorée par $0$. Sa limite $\ell \in [0\,,1]$ vérifie $\sin\ell = \ell$, et l'inégalité $\sin x < x$ pour $x \in \,]0\,,\frac{\pi}{2}[$ (chapitre 4) impose $\ell = 0$. Par récurrence, $u_{n} > 0$.

Pour $t \in \,]0\,,1]$, on a $\sin t \geqslant t\big(1 - \frac{t^{2}}{6}\big) > 0$, d'où $$\frac{1}{\sin^{2} t} - \frac{1}{t^{2}} \leqslant \frac{1 - (1 - t^{2}/6)^{2}}{t^{2}(1 - t^{2}/6)^{2}} = \frac{\frac{1}{3} - \frac{t^{2}}{36}}{(1 - t^{2}/6)^{2}} \leqslant \frac{1/3}{(5/6)^{2}} = \frac{12}{25}.$$ Avec $t = u_{n}$, puis en sommant, $\frac{1}{u_{n}^{2}} \leqslant 1 + \frac{12n}{25} \leqslant 1 + \frac{n}{2}$. $$\boxed{u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0, \qquad u_{n} \geqslant \frac{1}{\sqrt{1 + n/2}}}$$ Ainsi $u_{100} \geqslant 0{,}14$ ; en réalité $u_{100} \approx 0{,}169$. La décroissance n'est pas géométrique : elle est de l'ordre de $\frac{1}{\sqrt{n}}$, ce que le chapitre 10 précisera.