Exercice 41

1. La fonction $f$ est décroissante sur $[0\,,1]$, avec $f(0) = 1$ et $f(1) = 0$ : $[0\,,1]$ est stable. Le point fixe vérifie $x^{2} - 3x + 1 = 0$. $$\boxed{a = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx 0{,}382}$$ 2. Le développement donne : $$\boxed{f(f(x)) - x = x(x - 1)(x^{2} - 3x + 1)}$$ Sur $[0\,,1]$, les facteurs $x$ et $x - 1$ sont de signes contraires, et $x^{2} - 3x + 1$ change de signe en $a$ : la différence est négative sur $]0\,,a[$ et positive sur $]a\,,1[$.

3. La fonction $g = f \circ f$ est croissante, et laisse stables $[0\,,a]$ et $[a\,,1]$. Comme $u_{0} = \frac{1}{2} \in \,]a\,,1]$, la suite $(u_{2n})$ croît, et sa limite est un point fixe de $g$ dans $\big[\frac{1}{2}\,,1\big]$, c'est-à-dire $1$. Comme $u_{1} = \frac{1}{4} \in [0\,,a[$, la suite $(u_{2n+1})$ décroît vers $0$. $$\boxed{u_{2n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1, \quad u_{2n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 : \ (u_{n}) \text{ diverge}}$$ Numériquement, $u_{8} \approx 0{,}901$ et $u_{7} \approx 0{,}051$.

4. Si $u_{0} = a$, la suite est constante. Si $u_{0} = 0$, elle vaut alternativement $0$ et $1$.

Le point fixe $a$ existe, mais aucune suite ne s'en approche, sauf la suite constante : il est répulsif. La décroissance de $f$ ne garantit donc pas la convergence ; elle garantit seulement que les termes d'indices pairs et impairs ont un comportement monotone.