Exercice 42

1. La fonction $P_{n} : x \mapsto x + x^{2} + \cdots + x^{n}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_{+}$, nulle en $0$, et tend vers $+\infty$ ; d'après le théorème 2 du chapitre 5, elle réalise une bijection de $\mathbb{R}_{+}$ sur $\mathbb{R}_{+}$. Comme $P_{n}(1) = n \geqslant 1$ et $P_{n}\big(\frac{1}{2}\big) = 1 - \frac{1}{2^{n}} \leqslant 1$, on obtient l'encadrement. $$\boxed{\exists!\,x_{n} \in \mathbb{R}_{+},\ P_{n}(x_{n}) = 1, \qquad \frac{1}{2} \leqslant x_{n} \leqslant 1}$$ 2. On a $P_{n+1}(x_{n}) = P_{n}(x_{n}) + x_{n}^{n+1} > 1 = P_{n+1}(x_{n+1})$, et $P_{n+1}$ est croissante. $\boxed{x_{n+1} < x_{n}}$

3. Pour $n \geqslant 2$, $x_{n} < 1$ puisque $P_{n}(1) = n > 1$, et la somme géométrique donne $\frac{x_{n} - x_{n}^{n+1}}{1 - x_{n}} = 1$, soit $x_{n} - x_{n}^{n+1} = 1 - x_{n}$ ; pour $n = 1$, $x_{1} = 1$ vérifie aussi la formule. $$\boxed{x_{n} = \frac{1}{2}\big(1 + x_{n}^{n+1}\big)}$$ Pour $n \geqslant 2$, on a $0 \leqslant x_{n}^{n+1} \leqslant x_{2}^{n+1}$, avec $x_{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} < 1$, donc $x_{n}^{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. $\boxed{x_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1}{2}}$

Numériquement, $x_{5} \approx 0{,}5087$ et $x_{20} \approx 0{,}500\,000\,24$ : l'écart $x_{n} - \frac{1}{2}$ décroît à peu près comme $2^{-n}$.