Exercice 43

1. La fonction $f_{n}$ est dérivable, de dérivée $5x^{4} + n > 0$, et tend vers $\pm\infty$ en $\pm\infty$ : c'est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ (théorème 2 du chapitre 5). Comme $f_{n}(0) = -1 < 0$ et $f_{n}\big(\frac{1}{n}\big) = \frac{1}{n^{5}} > 0$ : $$\boxed{0 < u_{n} < \frac{1}{n}}$$ 2. On a $f_{n+1}(u_{n}) = f_{n}(u_{n}) + u_{n} = u_{n} > 0 = f_{n+1}(u_{n+1})$, et $f_{n+1}$ est croissante, d'où $u_{n+1} < u_{n}$. L'encadrement de la question 1 donne la limite. $\boxed{(u_{n}) \text{ décroît vers } 0}$

3. De $u_{n}^{5} + nu_{n} = 1$, on tire $nu_{n} = 1 - u_{n}^{5} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1$, puis $n^{5}(1 - nu_{n}) = n^{5}u_{n}^{5} = (nu_{n})^{5}$. $$\boxed{nu_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1, \qquad n^{5}(1 - nu_{n}) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1}$$ Ainsi $u_{n}$ est très proche de $\frac{1}{n}$, l'écart $\frac{1}{n} - u_{n} = \frac{1 - nu_{n}}{n}$ étant de l'ordre de $\frac{1}{n^{6}}$. Pour $n = 10$, on trouve $u_{10} \approx 0{,}099\,999\,000\,05$.