Exercice 44

1. La fonction $f : x \mapsto x + \ln x$ est dérivable et strictement croissante sur $]0\,,+\infty[$, de limites $-\infty$ en $0$ et $+\infty$ en $+\infty$ : c'est une bijection sur $\mathbb{R}$. $\boxed{\exists!\,u_{n} > 0,\ u_{n} + \ln u_{n} = n}$

2. On a $f(u_{n+1}) = n + 1 > n = f(u_{n})$, donc $u_{n+1} > u_{n}$ ; et $f(1) = 1 \leqslant n = f(u_{n})$, donc $u_{n} \geqslant 1$. Si $(u_{n})$ était majorée par $M$, on aurait $n = f(u_{n}) \leqslant f(M)$ pour tout $n$, ce qui est absurde. $$\boxed{(u_{n}) \text{ est croissante, } u_{n} \geqslant 1, \ u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty}$$ 3. Comme $u_{n} \geqslant 1$, $\ln u_{n} \geqslant 0$ et $u_{n} = n - \ln u_{n} \leqslant n$ ; puis $\ln u_{n} \leqslant \ln n$, d'où $u_{n} \geqslant n - \ln n$. En divisant par $n$, et comme $\frac{\ln n}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ (théorème 7) : $$\boxed{n - \ln n \leqslant u_{n} \leqslant n, \qquad \frac{u_{n}}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1}$$ 4. Posons $h_{n} = 1 - \frac{u_{n}}{n} \in \big[0\,,\frac{\ln n}{n}\big]$, qui tend vers $0$. Alors $u_{n} - n + \ln n = \ln n - \ln u_{n} = -\ln(1 - h_{n})$, et l'inégalité indiquée, qui découle de l'exercice 21 avec $x = -h_{n}$, donne $$0 \leqslant -\ln(1 - h_{n}) \leqslant \frac{h_{n}}{1 - h_{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0.$$

$$\boxed{u_{n} = n - \ln n + \varepsilon_{n}, \quad \varepsilon_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0}$$ Numériquement, $u_{100} \approx 95{,}441$ et $n - \ln n \approx 95{,}395$ : l'écart vaut environ $0{,}047$, et il est de l'ordre de $\frac{\ln n}{n}$, comme le montre l'encadrement.