ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 7 — Nombres réels et suites numériques · Exercices de synthèse

Exercice 45

Vrai ou fauxDémonstration

Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par une démonstration ou un contre-exemple.

1. Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{Q}$ admet une borne supérieure dans $\mathbb{Q}$ .

2. Si une partie non vide et majorée $A$ de $\mathbb{R}$ ne contient pas sa borne supérieure, alors $A$ est infinie.

3. Toute suite bornée est convergente.

4. Toute suite convergente est monotone à partir d'un certain rang.

5. Si $u_{n} > 0$ pour tout $n$ et si $u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell$ , alors $\ell > 0$ .

6. Si $u_{n+1} - u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ , alors $(u_{n})$ converge.

7. Si $(u_{n}^{2})$ converge, alors $(u_{n})$ converge.

8. Une suite croissante qui n'est pas majorée tend vers $+\infty$ .

9. Si $u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell$ et $v_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell$ , avec $u_{n} < v_{n}$ pour tout $n$ , alors toute suite $(w_{n})$ telle que $u_{n} \leqslant w_{n} \leqslant v_{n}$ converge vers $\ell$ .

10. Toute suite réelle admet une suite extraite qui a une limite dans $\overline{\mathbb{R}}$ .

Corrigé

1. Fausse. La partie $\{r \in \mathbb{Q} \mid r > 0,\ r^{2} < 2\}$ est majorée par $2$ , mais n'a pas de borne supérieure rationnelle (exercice 7).

2. Vraie. Une partie finie non vide de $\mathbb{R}$ a un plus grand élément, qui est sa borne supérieure et lui appartient : par contraposée, si $\sup A \notin A$ , alors $A$ est infinie.

3. Fausse. La suite $\big((-1)^{n}\big)$ est bornée et diverge.

4. Fausse. La suite $\frac{(-1)^{n}}{n + 1}$ tend vers $0$ sans être monotone à partir d'aucun rang.

5. Fausse. La suite $\frac{1}{n + 1}$ est strictement positive, de limite nulle : l'inégalité stricte devient large.

6. Fausse. La suite $(\sqrt{n})$ vérifie $\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ et tend vers $+\infty$  ; de même $(H_{n})$ , exercice 51.

7. Fausse. Avec $u_{n} = (-1)^{n}$ , la suite $(u_{n}^{2})$ est constante.

8. Vraie. C'est le théorème 8 du cours.

9. Vraie. C'est le théorème d'encadrement ; le caractère strict de $u_{n} < v_{n}$ ne joue aucun rôle.

10. Vraie. Si la suite est bornée, le théorème de Bolzano-Weierstrass fournit une suite extraite convergente ; si elle n'est pas majorée, l'exercice 31 fournit une suite extraite qui tend vers $+\infty$ , et de même vers $-\infty$ si elle n'est pas minorée.

Énoncé PDF, p. 12 Corrigé PDF, p. 23 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Propriété de la borne supérieure Majorants, plus grand élément, borne supérieure Suite convergente, limite Limites infinies et comparaison Théorème de la limite monotone Suites extraites

Thèmes

bornes supérieure et inférieure, majorants, limites de suites, limites infinies, suites monotones, suites extraites

Notions

borne supérieure, majorant, limite d'une suite, limite infinie, suite extraite