Exercice 20

1. On calcule les différences de deux termes de même parité : $$S_{2n+2} - S_{2n} = a_{2n+2} - a_{2n+1} \leqslant 0, \qquad S_{2n+3} - S_{2n+1} = a_{2n+2} - a_{2n+3} \geqslant 0,$$ et $S_{2n} - S_{2n+1} = a_{2n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. Les suites $(S_{2n})$, décroissante, et $(S_{2n+1})$, croissante, sont adjacentes ; elles convergent vers un même réel $S$, et la proposition 11 du cours donne $S_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} S$. $$\boxed{(S_{n}) \text{ converge}}$$ 2. D'après le théorème 9, $S_{2m+1} \leqslant S \leqslant S_{2m+2} \leqslant S_{2m}$ pour tout $m$ : le réel $S$ est toujours compris entre deux sommes consécutives $S_{n}$ et $S_{n+1}$, dont la différence vaut $a_{n+1}$ en valeur absolue. $$\boxed{|S - S_{n}| \leqslant a_{n+1}}$$ 3. Avec $a_{k} = \frac{1}{2k + 1}$, qui décroît vers $0$, il suffit que $\frac{1}{2n + 3} \leqslant 10^{-3}$, soit $n \geqslant 498{,}5$. $$\boxed{n = 499, \text{ soit } 500 \text{ termes}}$$ La convergence est lente, ce qui explique que l'on n'utilise pas cette série pour calculer $\pi$ ; la formule de Viète (exercice 16) gagne près d'un chiffre exact par facteur.