Exercice 19

(a) On a $u_{n} = H_{2n} - H_{n}$ et $v_{n} = u_{n} + \frac{1}{n}$, avec $H_{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$. On calcule les différences : $$u_{n+1} - u_{n} = \frac{1}{2n + 1} + \frac{1}{2n + 2} - \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{2n + 1} - \frac{1}{2n + 2} > 0,$$

$$v_{n+1} - v_{n} = \frac{1}{(2n + 1)(2n + 2)} - \frac{1}{n(n + 1)} < 0,$$ puisque $(2n + 1)(2n + 2) > n(n + 1)$. Enfin $v_{n} - u_{n} = \frac{1}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. $$\boxed{(u_{n}) \text{ et } (v_{n}) \text{ sont adjacentes}}$$ L'exercice 21 montrera que leur limite commune est $\ln 2$.

(b) On note $\Sigma_{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}$, et l'on utilise $\sqrt{m + 1} - \sqrt{m} = \frac{1}{\sqrt{m + 1} + \sqrt{m}}$ : $$u_{n+1} - u_{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1}} - \frac{2}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}} > 0, \qquad v_{n+1} - v_{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1}} - \frac{2}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} < 0,$$ puisque $\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1} > 2\sqrt{n + 1} > \sqrt{n + 1} + \sqrt{n}$. Enfin $v_{n} - u_{n} = 2(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. $$\boxed{(u_{n}) \text{ et } (v_{n}) \text{ sont adjacentes}}$$ Leur limite commune $c$ vaut environ $-1{,}46$. Comme $(v_{n})$ est bornée, $\frac{\Sigma_{n}}{\sqrt{n}} = 2 + \frac{v_{n}}{\sqrt{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \boxed{2}$ : la somme croît comme $2\sqrt{n}$, ce que la comparaison avec $\int_{1}^{n} \frac{\mathrm{d} t}{\sqrt{t}}$ rendra naturel au chapitre 20.