Exercice 18

1. C'est une somme géométrique (chapitre 3) : $$S_{n} = \frac{1 - 3^{-(n+1)}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}\Big(1 - \frac{1}{3^{n+1}}\Big) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \boxed{\frac{3}{2}}.$$ 2. On change d'indice $k = j + 1$ : $$T_{n+1} = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{k}{3^{k}} = \sum_{j=0}^{n} \frac{j + 1}{3^{j+1}} = \frac{1}{3}\sum_{j=0}^{n} \frac{j}{3^{j}} + \frac{1}{3}\sum_{j=0}^{n} \frac{1}{3^{j}} = \boxed{\frac{T_{n} + S_{n}}{3}}.$$ 3. La suite $(T_{n})$ est croissante, comme somme de termes positifs, et $S_{n} \leqslant \frac{3}{2}$. Donc $$T_{n} \leqslant T_{n+1} = \frac{T_{n} + S_{n}}{3} \leqslant \frac{T_{n}}{3} + \frac{1}{2}, \qquad\text{d'où}\qquad T_{n} \leqslant \frac{3}{4}.$$ Croissante et majorée, elle converge vers un réel $t$ (théorème 8), et le passage à la limite dans la relation de la question 2 donne $t = \frac{t + 3/2}{3}$. $$\boxed{T_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{3}{4}}$$ Il fallait d'abord établir la convergence : la relation $t = \frac{t + 3/2}{3}$ n'a de sens qu'une fois la limite $t$ connue pour exister.