Exercice 17

On étudie le signe de $u_{n+1} - u_{n}$, ou la position du quotient $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ par rapport à $1$ pour les suites positives.

(a) Pour $n \geqslant p$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} = \dfrac{(n + 1)!\,(n - p)!}{(n + 1 - p)!\,n!} = \dfrac{n + 1}{n + 1 - p} \geqslant 1$. $$\boxed{\text{croissante, constante si } p = 0}$$ Pour $p \geqslant 1$, la formule de Pascal donne $u_{n+1} - u_{n} = \binom{n}{p-1} \geqslant 1$, donc $u_{n} \geqslant u_{p} + (n - p)$ : la suite tend vers $+\infty$, et ne converge que si $p = 0$.

(b) On calcule la différence : $$u_{n+1} - u_{n} = \frac{1}{(n + 1)^{2}} + \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n} = \frac{1}{(n + 1)^{2}} - \frac{1}{n(n + 1)} = -\frac{1}{n(n + 1)^{2}} < 0.$$

$$\boxed{\text{strictement décroissante, minorée par } 0 \text{ : convergente}}$$ Comme $\frac{1}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$, sa limite est celle de $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}$, dont on obtient ainsi une seconde preuve de convergence.

(c) On a $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} = \dfrac{n + 1}{2} \geqslant 1$ pour $n \geqslant 1$, avec égalité seulement pour $n = 1$. $$\boxed{\text{croissante à partir du rang } 1, \text{ et } u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty}$$ La limite résulte de l'exercice 14, le quotient tendant vers $+\infty$.

(d) On calcule la différence, puis l'on reconnaît un logarithme : $$u_{n+1} - u_{n} = \ln(n + 1) - (n + 1)\ln(n + 1) + n\ln n = -n\ln\Big(1 + \frac{1}{n}\Big) < 0.$$

$$\boxed{\text{strictement décroissante, et } u_{n} = \ln\frac{n!}{n^{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} -\infty}$$ La limite vient de $\frac{n!}{n^{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ (théorème 7) : la suite diverge.

(e) On a $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} = \dfrac{2n + 2}{2n + 3} < 1$. $\boxed{\text{strictement décroissante et positive : convergente}}$

Sa limite est nulle. En effet, $\frac{2k}{2k + 1} \leqslant \frac{2k + 1}{2k + 2}$, puisque $2k(2k + 2) = 4k^{2} + 4k < (2k + 1)^{2}$, donc $$u_{n}^{2} \leqslant \prod_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k + 1} \cdot \prod_{k=1}^{n} \frac{2k + 1}{2k + 2} = \prod_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k + 2} = \frac{1}{n + 1},$$ par télescopage, d'où $0 < u_{n} \leqslant \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$.

(f) Par récurrence, $u_{n} > 0$ pour tout $n$, et $$u_{n+1} - u_{n} = \frac{3u_{n}^{2} - u_{n} - 4u_{n}^{2}}{1 + 4u_{n}} = -\frac{u_{n}(u_{n} + 1)}{1 + 4u_{n}} < 0.$$

$$\boxed{\text{strictement décroissante et positive : convergente}}$$ La limite est nulle : $\frac{3u_{n}}{1 + 4u_{n}} < \frac{3}{4}$, donc $u_{n+1} \leqslant \frac{3}{4}u_{n}$ et $u_{n} \leqslant \big(\frac{3}{4}\big)^{n}u_{0}$.