Exercice 16

1. Par récurrence sur $n$, à l'aide de $\sin(2t) = 2\sin t\cos t$. Pour $n = 1$, $2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = \sin x$. Si la formule est vraie au rang $n$, alors $$P_{n+1} \cdot 2^{n+1}\sin\frac{x}{2^{n+1}} = P_{n} \cdot 2^{n} \cdot 2\sin\frac{x}{2^{n+1}}\cos\frac{x}{2^{n+1}} = P_{n} \cdot 2^{n}\sin\frac{x}{2^{n}} = \sin x.$$

$$\boxed{P_{n} \cdot 2^{n}\sin\frac{x}{2^{n}} = \sin x}$$ 2. Avec $t = \frac{x}{2^{n}} > 0$, l'encadrement multiplié par $2^{n}$ donne $$x - \frac{x^{3}}{6 \cdot 4^{n}} \leqslant 2^{n}\sin\frac{x}{2^{n}} \leqslant x,$$ d'où $2^{n}\sin\frac{x}{2^{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} x \neq 0$. Comme $\sin\frac{x}{2^{n}} > 0$, on peut diviser, et le théorème 4 donne : $$\boxed{P_{n} = \frac{\sin x}{2^{n}\sin(x/2^{n})} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{\sin x}{x}}$$ 3. Pour $x = \frac{\pi}{2}$, la limite vaut $\frac{1}{\pi/2} = \frac{2}{\pi}$. Les facteurs sont $c_{k} = \cos\frac{\pi}{2^{k+1}}$, avec $c_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, et la formule $\cos^{2}\frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}$, avec $\cos\frac{\theta}{2} > 0$, donne $2c_{k+1} = \sqrt{2 + 2c_{k}}$. Ainsi $2c_{2} = \sqrt{2 + \sqrt{2}}$, $2c_{3} = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}$, et ainsi de suite. $$\boxed{\frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}{2} \cdots}$$ Avec dix facteurs, on obtient $0{,}636\,620\,0$, contre $\frac{2}{\pi} \approx 0{,}636\,619\,8$ : l'erreur est de l'ordre de $\frac{x^{2}}{6 \cdot 4^{n}}$, comme le montre l'encadrement de la question 2. Cette formule, publiée par Viète en 1593, est la première expression de $\pi$ par un produit infini dans les mathématiques européennes.