Exercice 15

1. Une suite stationnaire converge vers sa valeur finale. Réciproquement, si $u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell$, il existe $N$ tel que $|u_{n} - \ell| \leqslant \frac{1}{3}$ pour $n \geqslant N$ ; alors $|u_{n} - u_{m}| \leqslant \frac{2}{3} < 1$ pour $n$, $m \geqslant N$, et deux entiers aussi proches sont égaux. $$\boxed{\text{une suite d'entiers converge si et seulement si elle est stationnaire}}$$ 2. Si $\ell \notin \mathbb{Z}$, notons $k = \lfloor \ell \rfloor$, de sorte que $k < \ell < k + 1$. Avec $\varepsilon = \frac{1}{2}\min(\ell - k, k + 1 - \ell)$, on a $u_{n} \in \,]k\,,k + 1[$ à partir d'un certain rang, donc $\lfloor u_{n} \rfloor = k$. Si $\ell \in \mathbb{Z}$, les suites $\ell + \frac{1}{n + 1}$, $\ell - \frac{1}{n + 1}$ et $\ell + \frac{(-1)^{n}}{n + 1}$ ont pour parties entières $\ell$, $\ell - 1$, et alternativement $\ell$ et $\ell - 1$. $$\boxed{\ell \notin \mathbb{Z} : \lfloor u_{n} \rfloor \to \lfloor \ell \rfloor \qquad \ell \in \mathbb{Z} : \text{ limite } \ell, \ \ell - 1, \text{ ou divergence}}$$ 3. Soit $A$ un réel. Les indices $n$ tels que $u_{n} \leqslant A$ ont des images deux à deux distinctes dans l'ensemble fini $\mathbb{N} \cap [0\,,A]$ : ils sont en nombre fini. Au-delà du plus grand d'entre eux, on a $u_{n} > A$. $\boxed{u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty}$

La question 2 montre que la partie entière n'est pas continue aux entiers ; le chapitre 8 donnera un nom à ce phénomène.