Exercice 14

1. Si $\ell < 1$, posons $k = \frac{1 + \ell}{2} \in \,]\ell\,,1[$. Avec $\varepsilon = k - \ell$, on a $\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \leqslant k$ à partir d'un certain rang, et la proposition 10 du cours donne $\boxed{u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0}$.

2. Si $\ell > 1$ est réel, posons $k = \frac{1 + \ell}{2} > 1$ ; si $\ell = +\infty$, posons $k = 2$. Dans les deux cas, $\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \geqslant k$ pour $n \geqslant N$, d'où $u_{n} \geqslant u_{N}\,k^{n - N}$, qui tend vers $+\infty$ (proposition 9). $\boxed{u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty}$

3. Les suites $u_{n} = \frac{1}{n}$, $u_{n} = 1$ et $u_{n} = n$ vérifient $\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1$, et tendent respectivement vers $0$, $1$ et $+\infty$. $$\boxed{\ell = 1 : \text{ cas douteux}}$$ 4. On calcule chaque fois la limite du quotient de deux termes consécutifs.

• $\frac{u_{n+1}}{u_{n}} = \frac{1}{1{,}01}\big(1 + \frac{1}{n}\big)^{10} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1}{1{,}01} < 1$ : $\boxed{\frac{n^{10}}{1{,}01^{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0}$, bien que $u_{1000} \approx 4{,}8 \times 10^{25}$ soit encore énorme.

• $\frac{u_{n+1}}{u_{n}} = \frac{a}{n + 1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ : $\boxed{\frac{a^{n}}{n!} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0}$

• $\frac{\binom{2n+2}{n+1}}{\binom{2n}{n}} = \frac{(2n + 2)(2n + 1)}{(n + 1)^{2}} = \frac{2(2n + 1)}{n + 1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 4$ ; le quotient tend donc vers $\frac{4}{5} < 1$ dans le premier cas et vers $\frac{4}{3} > 1$ dans le second : $$\boxed{\binom{2n}{n}\frac{1}{5^{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \qquad \binom{2n}{n}\frac{1}{3^{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty}$$

Le coefficient central $\binom{2n}{n}$ croît donc à peu près comme $4^{n}$ ; le chapitre 10 donnera un résultat plus précis.