Exercice 13

1. Comme $0 \leqslant v_{n} \leqslant 1$ et $u_{n} \geqslant 0$, on a $u_{n}v_{n} \leqslant u_{n} \leqslant 1$, et l'encadrement donne $u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1$ ; de même pour $v_{n}$. $\boxed{u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1, \ v_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1}$

2. On a $6 - u_{n}v_{n} \geqslant 6 - 2u_{n} = 2(3 - u_{n}) \geqslant 0$, donc $0 \leqslant 3 - u_{n} \leqslant \frac{1}{2}(6 - u_{n}v_{n})$, qui tend vers $0$. De même, $6 - u_{n}v_{n} \geqslant 3(2 - v_{n}) \geqslant 0$. $$\boxed{u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 3, \qquad v_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 2}$$ 3. Comme $0 \leqslant u_{n} \leqslant 1$, on a $u_{n}^{2} \leqslant u_{n}$, d'où $\frac{u_{n} + u_{n}^{2}}{2} \leqslant u_{n} \leqslant 1$, et l'encadrement donne $\boxed{u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1}$.

L'idée commune est qu'un produit ou une moyenne ne peut atteindre sa valeur maximale que si chaque facteur atteint la sienne ; les bornes imposées transforment cette remarque en encadrement.