Exercice 12

(a) La somme se calcule (chapitre 3) : $u_{n} = \dfrac{n(n + 1)}{2n^{2}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2n}$, de limite $\boxed{\frac{1}{2}}$.

(b) Chacun des $n$ termes est compris entre $\frac{n}{n^{2} + n}$ et $\frac{n}{n^{2} + 1}$ : $$\frac{n^{2}}{n^{2} + n} \leqslant u_{n} \leqslant \frac{n^{2}}{n^{2} + 1}, \qquad\text{d'où la limite } \boxed{1} \text{ par encadrement.}$$ (c) On somme les encadrements $kx - 1 < \lfloor kx \rfloor \leqslant kx$ : $$x\,\frac{n(n + 1)}{2} - n < \sum_{k=1}^{n} \lfloor kx \rfloor \leqslant x\,\frac{n(n + 1)}{2},$$ et, en divisant par $n^{2}$, les deux bornes tendent vers $\frac{x}{2}$ : limite $\boxed{\frac{x}{2}}$.

(d) Pour $n \geqslant 2$, on isole les deux derniers termes et l'on majore les $n - 2$ autres par $(n - 2)!$ : $$1 \leqslant u_{n} \leqslant 1 + \frac{1}{n} + \frac{(n - 2)\,(n - 2)!}{n!} = 1 + \frac{1}{n} + \frac{n - 2}{n(n - 1)} \leqslant 1 + \frac{2}{n},$$ d'où la limite $\boxed{1}$ : la somme des factorielles est « dominée » par la dernière.

(e) Pour $1 \leqslant k \leqslant n - 1$, le quotient $\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}} = \frac{n - k}{k + 1}$ est supérieur ou égal à $1$ si et seulement si $k \leqslant \frac{n - 1}{2}$ : les coefficients croissent puis décroissent, et pour $2 \leqslant k \leqslant n - 2$, $\binom{n}{k} \geqslant \binom{n}{2}$. Pour $n \geqslant 4$, en isolant les termes $k \in \{0, 1, n - 1, n\}$ : $$2 \leqslant u_{n} \leqslant 2 + \frac{2}{n} + (n - 3)\,\frac{2}{n(n - 1)} \leqslant 2 + \frac{4}{n},$$ d'où la limite $\boxed{2}$. Numériquement, $u_{60} \approx 2{,}0345$.

(f) Les $n$ termes sont compris entre $\frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}}$ et $\frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1}}$, d'où $$\frac{1}{\sqrt{1 + 1/n}} \leqslant u_{n} \leqslant \frac{1}{\sqrt{1 + 1/n^{2}}}, \qquad\text{et la limite } \boxed{1}.$$

À retenir : pour une somme de $n$ termes, on encadre chaque terme par le plus petit et le plus grand, puis l'on multiplie par $n$. Cela ne marche que si ces deux bornes, multipliées par $n$, ont la même limite ; sinon, comme en (d) et (e), il faut isoler les termes prépondérants.