Exercice 11

1. La proposition 1 du cours donne $\big||u_{n}| - |\ell|\big| \leqslant |u_{n} - \ell|$, d'où $|u_{n}| \xrightarrow[n \to +\infty]{} |\ell|$ par la proposition 8. La réciproque est fausse : $|(-1)^{n}| = 1$ converge, $((-1)^{n})$ non. Pour $\ell = 0$, en revanche, $|u_{n} - 0| = \big||u_{n}| - 0\big|$ : les deux énoncés sont identiques. $$\boxed{u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell \implies |u_{n}| \xrightarrow[n \to +\infty]{} |\ell|, \text{ réciproque fausse sauf pour } \ell = 0}$$ 2. Selon que $a \geqslant b$ ou $a < b$, on vérifie : $$\boxed{\max(a, b) = \frac{a + b + |a - b|}{2} \qquad \min(a, b) = \frac{a + b - |a - b|}{2}}$$ Si $u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell$ et $v_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell'$, la question 1 et le théorème 4 donnent la convergence de ces expressions. $$\boxed{\max(u_{n}, v_{n}) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \max(\ell, \ell') \qquad \min(u_{n}, v_{n}) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \min(\ell, \ell')}$$