Exercice 10

1. La somme de deux suites convergentes converge (théorème 4). La somme d'une suite convergente $(u_{n})$ et d'une suite divergente $(v_{n})$ diverge : sinon $v_{n} = (u_{n} + v_{n}) - u_{n}$ convergerait. La somme de deux suites divergentes peut converger, $(-1)^{n} + (-1)^{n+1} = 0$, ou diverger, $(-1)^{n} + (-1)^{n} = 2(-1)^{n}$. $$\boxed{\text{C + C = C ; \ C + D = D ; \ D + D : on ne peut rien dire}}$$ 2. Le produit de deux suites convergentes converge. Si $u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell \neq 0$ et si $(v_{n})$ diverge, $(u_{n}v_{n})$ diverge, sinon $v_{n} = \frac{u_{n}v_{n}}{u_{n}}$ convergerait, $u_{n}$ étant non nul à partir d'un certain rang. Si $\ell = 0$, tout est possible : $\frac{1}{n} \cdot n = 1$ converge, $\frac{1}{n} \cdot n^{2} = n$ diverge. Deux suites divergentes : $(-1)^{n} \cdot (-1)^{n} = 1$ converge, $n \cdot n$ diverge. $$\boxed{\text{C} \times \text{C = C ; \ C (limite non nulle)} \times \text{D = D ; \ sinon on ne peut rien dire}}$$ 3. On a $u_{n} = \frac{1}{2}\big((u_{n} + v_{n}) + (u_{n} - v_{n})\big)$ et $v_{n} = \frac{1}{2}\big((u_{n} + v_{n}) - (u_{n} - v_{n})\big)$ : les deux suites convergent. En revanche, la convergence de la somme et du produit ne suffit pas : avec $(u_{n}, v_{n}) = (1, 0)$ pour $n$ pair et $(0, 1)$ pour $n$ impair, on a $u_{n} + v_{n} = 1$ et $u_{n}v_{n} = 0$, alors que les deux suites divergent. $$\boxed{u_{n} \pm v_{n} \text{ convergent} \implies u_{n}, v_{n} \text{ convergent ; faux avec somme et produit}}$$ La somme et le produit déterminent la paire $\{u_{n}, v_{n}\}$, comme ensemble des racines du trinôme $$X^{2} - (u_{n} + v_{n})X + u_{n}v_{n},$$ mais pas l'ordre des deux racines : c'est ce que l'exemple exploite.