Exercice 9

1. On a $\Big|\dfrac{3n - 1}{n + 2} - 3\Big| = \dfrac{7}{n + 2} < \dfrac{7}{n}$ pour $n \geqslant 1$. Soit $\varepsilon > 0$, et $N = \lfloor \frac{7}{\varepsilon} \rfloor + 1 > \frac{7}{\varepsilon}$. Pour $n \geqslant N$, $|u_{n} - 3| < \frac{7}{n} \leqslant \frac{7}{N} < \varepsilon$. $$\boxed{N = \Big\lfloor \frac{7}{\varepsilon} \Big\rfloor + 1 \text{ convient ; pour } \varepsilon = 10^{-2}, \ N = 701}$$ Le plus petit rang convenable est en fait $698$, puisque $\frac{7}{n + 2} \leqslant 10^{-2}$ équivaut à $n \geqslant 698$ : la définition demande un rang, pas le meilleur.

2. Pour $n \geqslant 1$, $n + 1 \leqslant 2n$, donc $\frac{n^{2}}{n + 1} \geqslant \frac{n}{2}$. Pour $A > 0$, le rang $N = \lfloor 2A \rfloor + 1$ convient : pour $n \geqslant N$, $\frac{n^{2}}{n + 1} \geqslant \frac{n}{2} > A$. $\boxed{\frac{n^{2}}{n + 1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty}$

3. La négation de $u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell$ est $\exists \varepsilon > 0,\ \forall N \in \mathbb{N},\ \exists n \geqslant N,\ |u_{n} - \ell| > \varepsilon$. Soit $\ell$ un réel. Comme $|1 - \ell| + |{-1} - \ell| \geqslant |1 - (-1)| = 2$, l'un des deux nombres $|1 - \ell|$, $|{-1} - \ell|$ est au moins $1 > \frac{1}{2}$. Or tout rang $N$ est suivi d'indices pairs et impairs : il existe $n \geqslant N$ tel que $|u_{n} - \ell| > \frac{1}{2}$. $$\boxed{\big((-1)^{n}\big) \text{ ne converge vers aucun réel}}$$ 4. La négation de $u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$ est $\exists A \in \mathbb{R},\ \forall N \in \mathbb{N},\ \exists n \geqslant N,\ u_{n} < A$. Ici $u_{n} = 0$ pour $n$ impair, donc $A = 1$ convient ; et $u_{2n} = 4n$ n'est pas majorée. $$\boxed{(u_{n}) \text{ n'est pas majorée, mais ne tend pas vers } +\infty}$$