Exercice 8

On factorise le terme prépondérant, on multiplie par la quantité conjuguée pour les différences de racines, et l'on utilise les croissances comparées (théorème 7). On utilise plusieurs fois le fait que $\sqrt{1 + h_{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1$ lorsque $h_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ avec $h_{n} \geqslant -1$, qui découle de $\big|\sqrt{1 + h} - 1\big| = \frac{|h|}{\sqrt{1 + h} + 1} \leqslant |h|$.

• (a) $\dfrac{n^{2} + 3n}{2n^{2} - 1} = \dfrac{1 + 3/n}{2 - 1/n^{2}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \boxed{\dfrac{1}{2}}$

• (b) $\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = \dfrac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \boxed{0}$

• (c) $\sqrt{n^{2} + n} - n = \dfrac{n}{\sqrt{n^{2} + n} + n} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + 1/n} + 1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \boxed{\dfrac{1}{2}}$

• (d) $\dfrac{3^{n} + (-2)^{n}}{3^{n} - (-2)^{n}} = \dfrac{1 + (-2/3)^{n}}{1 - (-2/3)^{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \boxed{1}$, puisque $\big|{-\frac{2}{3}}\big| < 1$.

• (e) $\Big|\dfrac{n + (-1)^{n}}{n^{2} + 1}\Big| \leqslant \dfrac{n + 1}{n^{2}} \leqslant \dfrac{2}{n}$ pour $n \geqslant 1$, d'où la limite $\boxed{0}$.

• (f) $\dfrac{\ln n + 1}{n + 4} = \dfrac{\frac{\ln n}{n} + \frac{1}{n}}{1 + \frac{4}{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \boxed{0}$, par le théorème 7.

• (g) Pour $n \geqslant 1$, $n^{4} + 1 \leqslant 2n^{4}$, donc $\dfrac{\mathrm{e}^{n} + n^{2}}{n^{4} + 1} \geqslant \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\mathrm{e}^{n}}{n^{4}}$, qui tend vers $+\infty$ comme inverse d'une suite positive de limite nulle : limite $\boxed{+\infty}$.

• (h) $0 \leqslant \dfrac{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}{n} \leqslant \dfrac{\sqrt{n}}{n} = \dfrac{1}{\sqrt{n}}$, d'où la limite $\boxed{0}$.

• (i) $\sqrt{n^{2} + n} - \sqrt{n^{2} - n} = \dfrac{2n}{\sqrt{n^{2} + n} + \sqrt{n^{2} - n}} = \dfrac{2}{\sqrt{1 + 1/n} + \sqrt{1 - 1/n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \boxed{1}$

• (j) $\Big|\dfrac{\cos n}{n + 1}\Big| \leqslant \dfrac{1}{n + 1}$, d'où la limite $\boxed{0}$ (proposition 8).

• (k) Le numérateur est au moins $n - 1$ et le dénominateur au plus $3$ : $u_{n} \geqslant \dfrac{n - 1}{3}$, limite $\boxed{+\infty}$.

• (l) $\dfrac{n^{3}\,2^{n}}{n!} = \dfrac{n^{3}}{(3/2)^{n}} \cdot \dfrac{3^{n}}{n!}$, produit de deux suites de limite nulle (théorème 7), et $\dfrac{3^{n}}{n!} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ : limite $\boxed{0}$.

Piège : en (k), le quotient de deux suites qui oscillent n'a pas de raison d'osciller ; on ne conclut à la divergence qu'après avoir comparé les termes.