Exercice 7

1. On encadre $2$ entre deux carrés consécutifs à chaque précision : $$1{,}4^{2} = 1{,}96, \quad 1{,}41^{2} = 1{,}9881, \quad 1{,}414^{2} = 1{,}999\,396, \quad 1{,}4142^{2} = 1{,}999\,961\,64,$$

$$1{,}5^{2} = 2{,}25, \quad 1{,}42^{2} = 2{,}0164, \quad 1{,}415^{2} = 2{,}002\,225, \quad 1{,}4143^{2} = 2{,}000\,244\,49,$$ et $1 \leqslant 2 < 4$ au rang $0$. $$\boxed{d_{0} = 1, \quad d_{1} = 1{,}4, \quad d_{2} = 1{,}41, \quad d_{3} = 1{,}414, \quad d_{4} = 1{,}4142}$$ 2. On construit $(r_{n})$ par récurrence, à l'aide de la densité de $\mathbb{Q}$ (théorème 2) : on choisit un rationnel $r_{0}$ dans $]x - 1\,,x[$, puis, une fois $r_{n}$ construit, un rationnel $r_{n+1}$ appartenant à l'intervalle non vide $$\Big]\max\Big(r_{n}, x - \frac{1}{n + 2}\Big)\,,x\Big[.$$ La suite est strictement croissante, et $x - \frac{1}{n + 1} < r_{n} < x$ donne $r_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} x$ par encadrement. On procède de même au-dessus de $x$ avec des irrationnels, denses eux aussi. $$\boxed{\text{tout réel est limite d'une suite strictement monotone de rationnels ou d'irrationnels}}$$ 3. Si $r \in A$, alors $r^{2} < 2$ et $r > 0$, donc $r < \sqrt{2}$ : $\sqrt{2}$ majore $A$. Les $d_{n}$ sont des rationnels positifs, inférieurs ou égaux à $\sqrt{2}$ et distincts de lui, donc $d_{n}^{2} < 2$ et $d_{n} \in A$ ; et $d_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \sqrt{2}$. La proposition 13 donne : $$\boxed{\sup A = \sqrt{2}}$$ On retrouve la coupure de l'introduction du cours : la classe $A$ n'a pas de plus grand élément, et sa borne supérieure n'est pas rationnelle.