Exercice 6

1. Pour $g = p + q\sqrt{2}$ et $g' = p' + q'\sqrt{2}$ dans $G$, on a $g + g' = (p + p') + (q + q')\sqrt{2}$ et $gg' = (pp' + 2qq') + (pq' + p'q)\sqrt{2}$, qui sont dans $G$ ; de même $-g \in G$. Enfin $1{,}4 < \sqrt{2} < 1{,}5$, puisque $1{,}96 < 2 < 2{,}25$. $$\boxed{G \text{ est stable par } +, \times \text{ et passage à l'opposé ; } \ 0{,}4 < u < 0{,}5}$$ 2. Par récurrence, $u^{0} = 1 \in G$ et $u^{n+1} = u \cdot u^{n} \in G$. De plus $0 < u^{n} < \big(\frac{1}{2}\big)^{n}$, qui tend vers $0$ (proposition 9). $$\boxed{u^{n} \in G \quad\text{et}\quad u^{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0}$$ 3. Soit $n$ tel que $u^{n} < b - a$, et $k = \lfloor a / u^{n} \rfloor + 1 \in \mathbb{Z}$. Alors $k - 1 \leqslant \frac{a}{u^{n}} < k$, d'où $$a < k\,u^{n} \leqslant a + u^{n} < b,$$ et $k\,u^{n} \in G$, comme somme de $|k|$ éléments égaux à $\pm u^{n}$. $\boxed{G \text{ est dense dans } \mathbb{R}}$

4. Un élément $p + q\sqrt{2}$ est rationnel si et seulement si $q = 0$, d'après l'exercice 4 : les éléments rationnels de $G$ sont les entiers. En appliquant la question 3 à des sous-intervalles disjoints de $]a\,,b[$, on trouve une infinité d'éléments de $G$ dans $]a\,,b[$, alors que cet intervalle ne contient qu'un nombre fini d'entiers. $$\boxed{G \setminus \mathbb{Q} \text{ est dense dans } \mathbb{R}}$$ L'exercice 54 généralisera ce résultat à $\mathbb{Z} + \alpha\mathbb{Z}$ pour tout irrationnel $\alpha$, par une méthode différente.