Exercice 5

Toutes les bornes existent, puisque $f$ est bornée. Notons $S = \sup_{(x, y)} f(x, y)$.

1. Pour tout $x$, le réel $S$ majore $\{f(x, y) \mid y \in Y\}$, donc $\sup_{y} f(x, y) \leqslant S$, puis $\sup_{x}\sup_{y} f \leqslant S$. Réciproquement, pour tout couple $(x, y)$, on a $f(x, y) \leqslant \sup_{y'} f(x, y') \leqslant \sup_{x'}\sup_{y'} f(x', y')$ : ce dernier réel majore $f$, donc il est supérieur à $S$. L'autre ordre se traite de même. $$\boxed{\sup_{x}\sup_{y} f(x, y) = \sup_{y}\sup_{x} f(x, y) = \sup_{(x, y)} f(x, y)}$$ 2. Pour tous $x$ et $y$, on a $\inf_{y'} f(x, y') \leqslant f(x, y) \leqslant \sup_{x'} f(x', y)$. Fixons $y$ : le réel $\sup_{x'} f(x', y)$ majore donc tous les $\inf_{y'} f(x, y')$, d'où $\sup_{x}\inf_{y'} f \leqslant \sup_{x'} f(x', y)$. Le membre de gauche minore ainsi tous ces réels, donc leur borne inférieure. $$\boxed{\sup_{x}\inf_{y} f(x, y) \leqslant \inf_{y}\sup_{x} f(x, y)}$$ 3. Pour tout $x \in \{0, 1\}$, $\inf_{y} |x - y| = 0$ (prendre $y = x$) ; pour tout $y$, $\sup_{x} |x - y| = 1$ (prendre $x = 1 - y$). $$\boxed{\sup_{x}\inf_{y} f = 0 < 1 = \inf_{y}\sup_{x} f}$$

À retenir : on peut toujours échanger deux $\sup$, ou deux $\inf$, mais pas un $\sup$ et un $\inf$. C'est la même règle que pour les quantificateurs au chapitre 1 : on échange deux $\forall$, mais pas un $\forall$ et un $\exists$.