Exercice 4

1. Si $r + x$ était rationnel, $x = (r + x) - r$ le serait ; si $rx$ l'était, $x = \frac{rx}{r}$ aussi, puisque $r \neq 0$. $\boxed{r + x \text{ et } rx \text{ sont irrationnels}}$

2. Non : $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ et $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ sont rationnels, alors que $\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ est irrationnel d'après la question 1. $$\boxed{\text{la somme et le produit de deux irrationnels peuvent être rationnels ou non}}$$ 3. Supposons $\sqrt{6} = \frac{p}{q}$, fraction irréductible. Alors $p^{2} = 6q^{2}$ est pair, donc $p$ est pair : $p = 2p'$, et $3q^{2} = 2p'^{2}$. Ainsi $3q^{2}$ est pair, donc $q^{2}$ l'est, et $q$ aussi : $p$ et $q$ ont le facteur commun $2$, ce qui est absurde. Si maintenant $\sqrt{2} + \sqrt{3} = r$ était rationnel, on aurait $r^{2} = 5 + 2\sqrt{6}$, d'où $\sqrt{6} = \frac{r^{2} - 5}{2} \in \mathbb{Q}$. $$\boxed{\sqrt{6} \text{ et } \sqrt{2} + \sqrt{3} \text{ sont irrationnels}}$$ 4. Le quotient est strictement positif. S'il valait $\frac{p}{q}$, avec $p$ et $q$ entiers naturels non nuls, on aurait $q\ln 2 = p\ln 3$, soit $2^{q} = 3^{p}$ en composant par l'exponentielle : un nombre pair égal à un nombre impair. $$\boxed{\frac{\ln 2}{\ln 3} \notin \mathbb{Q}}$$