Exercice 3

Toutes les bornes existent d'après le théorème 1, les parties considérées étant non vides et bornées. On utilise la caractérisation par $\varepsilon$ (proposition 2).

(a) Le réel $\sup B$ majore $B$, donc $A$ : il est supérieur au plus petit majorant de $A$. De même, $\inf B$ minore $A$. $$\boxed{\sup A \leqslant \sup B, \qquad \inf A \geqslant \inf B}$$ (b) Le réel $M = \max(\sup A, \sup B)$ majore $A \cup B$. Réciproquement, un majorant de $A \cup B$ majore $A$ et $B$, donc il est supérieur à $\sup A$ et à $\sup B$, donc à $M$. $$\boxed{\sup(A \cup B) = \max(\sup A, \sup B)}$$ (c) Le réel $S = \sup A + \sup B$ majore $A + B$. Soit $\varepsilon > 0$ ; il existe $a \in A$ et $b \in B$ tels que $a > \sup A - \frac{\varepsilon}{2}$ et $b > \sup B - \frac{\varepsilon}{2}$, d'où $a + b > S - \varepsilon$. $$\boxed{\sup(A + B) = \sup A + \sup B}$$ (d) Le réel $\lambda\sup A$ majore $\lambda A$ puisque $\lambda > 0$ ; et si $a > \sup A - \frac{\varepsilon}{\lambda}$, alors $\lambda a > \lambda\sup A - \varepsilon$. Enfin, $m$ minore $A$ si et seulement si $-m$ majore $-A$ : le plus petit majorant de $-A$ est l'opposé du plus grand minorant de $A$. $$\boxed{\sup(\lambda A) = \lambda\sup A, \qquad \sup(-A) = -\inf A}$$ L'intersection $A \cap B$ peut être vide ; lorsqu'elle ne l'est pas, (a) donne $\sup(A \cap B) \leqslant \min(\sup A, \sup B)$, et l'inégalité peut être stricte : avec $A = \{0, 2\}$ et $B = \{0, 1\}$, on a $\sup(A \cap B) = 0 < 1$. Pour les produits, avec $A = B = \{-2, 1\}$, on obtient $\{ab\} = \{4, -2, 1\}$, de borne supérieure $4$, alors que $\sup A \cdot \sup B = 1$ : la formule ne vaut que pour des parties de réels positifs.