Exercice 2

On utilise la caractérisation de $\lfloor x \rfloor$ comme l'unique entier $k$ tel que $k \leqslant x < k + 1$, et sa conséquence : $\lfloor x \rfloor$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$.

(a) En ajoutant $m$ à l'encadrement $\lfloor x \rfloor \leqslant x < \lfloor x \rfloor + 1$, on obtient $\lfloor x \rfloor + m \leqslant x + m < \lfloor x \rfloor + m + 1$, et $\lfloor x \rfloor + m$ est entier. $$\boxed{\lfloor x + m \rfloor = \lfloor x \rfloor + m}$$ Avec $m = 1$, la fonction $\varphi : x \mapsto x - \lfloor x \rfloor$ vérifie $\varphi(x + 1) = \varphi(x)$ : elle est $1$-périodique, à valeurs dans $[0\,,1[$, et vaut $x$ sur $[0\,,1[$.

La courbe est une « dent de scie » : chaque segment contient son extrémité gauche, sur l'axe, mais pas son extrémité droite, à hauteur $1$.

(b) L'entier $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$ est inférieur ou égal à $x + y$, donc à $\lfloor x + y \rfloor$, qui est le plus grand entier ayant cette propriété. Par ailleurs, $x + y < \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 2$, donc l'entier $\lfloor x + y \rfloor$ est au plus $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1$. $$\boxed{\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leqslant \lfloor x + y \rfloor \leqslant \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1}$$ Le cas $x = y = 0$ donne l'égalité à gauche, et le cas $x = y = \frac{1}{2}$ l'égalité à droite, puisqu'alors $\lfloor x + y \rfloor = 1$.

(c) Si $x \in \mathbb{Z}$, on a $\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = x - x = 0$. Sinon, $\lfloor x \rfloor < x < \lfloor x \rfloor + 1$, d'où $-\lfloor x \rfloor - 1 < -x < -\lfloor x \rfloor$, et $\lfloor -x \rfloor = -\lfloor x \rfloor - 1$. $$\boxed{\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = 0 \text{ si } x \in \mathbb{Z}, \quad -1 \text{ sinon}}$$ (d) Notons $k = \lfloor x \rfloor$. Alors $kn \leqslant nx < kn + n$, et comme $kn$ et $kn + n$ sont entiers, $$kn \leqslant \lfloor nx \rfloor \leqslant kn + n - 1.$$ En divisant par $n$ : $$k \leqslant \frac{\lfloor nx \rfloor}{n} < k + 1, \qquad\text{donc}\qquad \boxed{\Big\lfloor \frac{\lfloor nx \rfloor}{n} \Big\rfloor = \lfloor x \rfloor}.$$ (e) Écrivons $x = k + t$, avec $k = \lfloor x \rfloor$ et $t \in [0\,,1[$. Si $t < \frac{1}{2}$, alors $\lfloor x + \frac{1}{2} \rfloor = k$ et $\lfloor 2x \rfloor = 2k + \lfloor 2t \rfloor = 2k$. Si $t \geqslant \frac{1}{2}$, alors $\lfloor x + \frac{1}{2} \rfloor = k + 1$ et $\lfloor 2x \rfloor = 2k + 1$. Dans les deux cas : $$\boxed{\lfloor x \rfloor + \Big\lfloor x + \frac{1}{2} \Big\rfloor = \lfloor 2x \rfloor}$$