Exercice 1

Dans chaque cas, on exhibe un majorant, puis une suite d'éléments de la partie qui tend vers lui : d'après la proposition 13 du cours, c'est la borne supérieure. Elle est un maximum si et seulement si elle appartient à la partie.

(a) On a $\frac{1}{n} \leqslant 1$, avec égalité pour $n = 1$, et $\frac{1}{n} > 0$, avec $\frac{1}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. $$\boxed{\sup A = \max A = 1 \qquad \inf A = 0, \ \text{pas de minimum}}$$ (b) Pour $n$ pair, $(-1)^{n} + \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{n} \leqslant \frac{3}{2}$, avec égalité pour $n = 2$ ; pour $n$ impair, $-1 + \frac{1}{n} \leqslant 0$. Tous les éléments sont strictement supérieurs à $-1$, et $-1 + \frac{1}{2k + 1} \xrightarrow[k \to +\infty]{} -1$. $$\boxed{\sup B = \max B = \frac{3}{2} \qquad \inf B = -1, \ \text{pas de minimum}}$$ (c) Si $x^{2} < 3$, alors $|x| < \sqrt{3}$. Les valeurs décimales approchées par défaut $d_{n}$ de $\sqrt{3}$ sont des rationnels positifs, distincts de $\sqrt{3}$ qui est irrationnel (même démonstration que pour $\sqrt{2}$), donc $d_{n}^{2} < 3$ et $d_{n} \in C$ ; et $d_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \sqrt{3}$. Par symétrie de $C$, on traite la borne inférieure. $$\boxed{\sup C = \sqrt{3}, \quad \inf C = -\sqrt{3}, \ \text{ni maximum ni minimum}}$$ (d) On a $0 < \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \leqslant 2$, avec égalité pour $p = q = 1$, et $\frac{2}{n} \in D$ tend vers $0$. $$\boxed{\sup D = \max D = 2 \qquad \inf D = 0, \ \text{pas de minimum}}$$ (e) Le trinôme $x^{2} - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$ est strictement négatif exactement entre ses racines : $E = \,]1\,,2[$. $$\boxed{\sup E = 2, \quad \inf E = 1, \ \text{ni maximum ni minimum}}$$ (f) Les éléments d'indice pair valent $\frac{n}{n + 1} \in [0\,,1[$ et tendent vers $1$ ; ceux d'indice impair valent $-\frac{n}{n + 1} \in \,]-1\,,0[$ et tendent vers $-1$. $$\boxed{\sup F = 1, \quad \inf F = -1, \ \text{ni maximum ni minimum}}$$

Piège : en (c), il ne suffit pas de dire « $\sqrt{3}$ est un majorant » ; c'est la suite $(d_{n})$ d'éléments de $C$ qui prouve qu'aucun majorant plus petit n'existe.