Exercice 54

1. Les $N + 1$ réels $k\alpha - \lfloor k\alpha \rfloor$ sont dans $[0\,,1[$, réunion des $N$ intervalles $\big[\frac{j}{N}\,,\frac{j + 1}{N}\big[$ ; deux d'entre eux, d'indices $k \neq k'$, sont dans le même intervalle. Le réel $g = (k - k')\alpha - (\lfloor k\alpha \rfloor - \lfloor k'\alpha \rfloor)$ appartient à $G$, et $|g| < \frac{1}{N}$ ; il n'est pas nul, sinon $\alpha$ serait rationnel. $$\boxed{\exists g \in G,\ 0 < |g| < \frac{1}{N}}$$ 2. Soit $a < b$ et $N$ tel que $\frac{1}{N} < b - a$. Avec le $g$ précédent et $k = \big\lfloor \frac{a}{|g|} \big\rfloor + 1$, on a $a < k|g| \leqslant a + |g| < b$, et $k|g| \in G$, puisque $G$ est stable par addition et passage à l'opposé. $\boxed{G \text{ est dense dans } \mathbb{R}}$

3. Si $2\pi$ était rationnel, $\pi$ le serait. Avec $\alpha = 2\pi$, l'ensemble $G$ est exactement $\{n + 2k\pi \mid n, k \in \mathbb{Z}\}$. $\boxed{\{n + 2k\pi\} \text{ est dense dans } \mathbb{R}}$

4. Les $N + 1$ réels $n - 2\pi\lfloor \frac{n}{2\pi} \rfloor \in [0\,,2\pi[$, pour $0 \leqslant n \leqslant N$, sont dans $N$ intervalles de longueur $\frac{2\pi}{N}$ ; deux d'entre eux, d'indices $n > n'$, sont dans le même. Avec $d = n - n' \in [\![1\,;N]\!]$ et $m = \lfloor \frac{n}{2\pi} \rfloor - \lfloor \frac{n'}{2\pi} \rfloor$, le réel $\delta = d - 2\pi m$ vérifie $0 < |\delta| < \frac{2\pi}{N}$, puisque $\pi$ est irrationnel. Soit maintenant $s$ réel et $n_{0} \geqslant 0$ ; notons $s'$ le réel de $[0\,,2\pi[$ si $\delta > 0$, ou de $]-2\pi\,,0]$ si $\delta < 0$, qui diffère de $s - n_{0}$ d'un multiple de $2\pi$. Les réels $j\delta$, pour $j \in \mathbb{N}$, avancent par pas de $|\delta|$ dans la direction de $s'$ : l'un d'eux vérifie $|j\delta - s'| \leqslant |\delta|$. L'entier $n = n_{0} + jd \geqslant n_{0}$ vérifie alors $$n - s - 2\pi(jm + K) = j\delta - s' \quad\text{pour un entier } K, \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{|n - s - 2k\pi| \leqslant \frac{2\pi}{N}}.$$ 5. La formule $\sin x - \sin y = 2\cos\frac{x + y}{2}\sin\frac{x - y}{2}$ et $|\sin t| \leqslant |t|$ donnent $|\sin x - \sin y| \leqslant |x - y|$. Soit $y \in [-1\,,1]$, $s = \operatorname{Arcsin} y$ et $\varepsilon > 0$. Avec $N > \frac{2\pi}{\varepsilon}$ et un entier $n_{0}$ quelconque, la question 4 fournit $n \geqslant n_{0}$ tel que $$|\sin n - y| = |\sin(n - 2k\pi) - \sin s| \leqslant |n - 2k\pi - s| \leqslant \varepsilon.$$ Il y a donc une infinité d'entiers $n$ tels que $|\sin n - y| \leqslant \varepsilon$, et l'exercice 53 conclut. $$\boxed{\text{tout réel de } [-1\,,1] \text{ est valeur d'adhérence de } (\sin n)}$$ La suite $(\sin n)$, que l'on aurait pu croire régulière, passe donc arbitrairement près de chaque valeur de $[-1\,,1]$ une infinité de fois ; c'est l'irrationalité de $\pi$ qui l'empêche de se répéter.