Exercice 53

1. Si $u_{\varphi(n)} \xrightarrow[n \to +\infty]{} a$, alors pour $\varepsilon > 0$, tous les indices $\varphi(n)$ avec $n$ assez grand vérifient $|u_{\varphi(n)} - a| \leqslant \varepsilon$, et ils sont en nombre infini. Réciproquement, on construit $\varphi$ par récurrence en choisissant $\varphi(n + 1) > \varphi(n)$ tel que $|u_{\varphi(n+1)} - a| \leqslant \frac{1}{n + 2}$, ce qui est possible puisque l'ensemble correspondant est infini. $$\boxed{a \text{ valeur d'adhérence} \iff \forall \varepsilon > 0,\ \{n \mid |u_{n} - a| \leqslant \varepsilon\} \text{ infini}}$$ 2. La suite $\big((-1)^{n}\big)$ ne prend que les valeurs $\pm 1$, chacune une infinité de fois ; une valeur $a \notin \{-1, 1\}$ est à distance au moins $\varepsilon > 0$ de ces deux valeurs. La suite $\big(\cos\frac{2n\pi}{5}\big)$ est $5$-périodique et prend les valeurs $1$, $\cos\frac{2\pi}{5}$ et $\cos\frac{4\pi}{5}$. Pour l'exercice 41, on a trouvé deux suites extraites recouvrant tous les indices, de limites $1$ et $0$. $$\boxed{\{-1, 1\} \qquad \Big\{1, \frac{\sqrt{5} - 1}{4}, -\frac{\sqrt{5} + 1}{4}\Big\} \qquad \{0, 1\}}$$ 3. Une suite convergente a pour seule valeur d'adhérence sa limite (proposition 11). Réciproquement, soit $(u_{n})$ bornée, d'unique valeur d'adhérence $a$. Si elle ne tendait pas vers $a$, il existerait $\varepsilon > 0$ et une infinité d'indices tels que $|u_{n} - a| > \varepsilon$ ; ils formeraient une suite extraite bornée, dont le théorème de Bolzano-Weierstrass extrairait une suite convergente, de limite $b$ vérifiant $|b - a| \geqslant \varepsilon$ : une seconde valeur d'adhérence. Sans l'hypothèse « bornée », la suite définie par $u_{2n} = n$ et $u_{2n+1} = 0$ a pour unique valeur d'adhérence $0$, mais diverge. $$\boxed{\text{bornée et une seule valeur d'adhérence} \iff \text{convergente}}$$ 4. D'après la question 1, il y a une infinité d'indices tels que $u_{n} \leqslant c$, au voisinage de $a$, et une infinité tels que $u_{n} > c$, au voisinage de $b$. Pour tout indice $n_{1}$ tel que $u_{n_{1}} \leqslant c$, il existe un indice ultérieur où $u > c$ ; le premier d'entre eux, $m$, vérifie $u_{m-1} \leqslant c < u_{m}$. On obtient ainsi une infinité d'indices $n$ tels que $u_{n} \leqslant c < u_{n+1}$, et pour eux $$0 \leqslant c - u_{n} < u_{n+1} - u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0.$$ La suite extraite correspondante tend vers $c$ : c'est une valeur d'adhérence. L'ensemble des valeurs d'adhérence vérifie donc la caractérisation des intervalles de la proposition 6. $$\boxed{\text{l'ensemble des valeurs d'adhérence est un intervalle}}$$ L'hypothèse $u_{n+1} - u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ empêche la suite de « sauter » par-dessus $c$ sans s'en approcher.