Exercice 51

1. Si $u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell$, pour $\varepsilon > 0$ il existe $N$ tel que $|u_{n} - \ell| \leqslant \frac{\varepsilon}{2}$ pour $n \geqslant N$, et alors, pour $p$, $q \geqslant N$, $$|u_{p} - u_{q}| \leqslant |u_{p} - \ell| + |\ell - u_{q}| \leqslant \varepsilon.$$ $\boxed{\text{toute suite convergente est de Cauchy}}$

2. Avec $\varepsilon = 1$, il existe $N$ tel que $|u_{p}| \leqslant |u_{N}| + 1$ pour $p \geqslant N$ : la suite est bornée, par le maximum de ce réel et des $|u_{p}|$ pour $p < N$. Le théorème de Bolzano-Weierstrass fournit une suite extraite $(u_{\varphi(n)})$ de limite $\ell$. Soit $\varepsilon > 0$, $N$ le rang de la condition de Cauchy et $n_{0}$ tel que $|u_{\varphi(n)} - \ell| \leqslant \varepsilon$ pour $n \geqslant n_{0}$. Pour $p \geqslant N$, prenons $n \geqslant \max(n_{0}, N)$ : alors $\varphi(n) \geqslant n \geqslant N$, et $$|u_{p} - \ell| \leqslant |u_{p} - u_{\varphi(n)}| + |u_{\varphi(n)} - \ell| \leqslant 2\varepsilon.$$

$$\boxed{\text{toute suite de Cauchy réelle converge}}$$ 3. On a $H_{n+1} - H_{n} = \frac{1}{n + 1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$, mais $H_{2n} - H_{n} \geqslant \frac{1}{2}$ pour tout $n$ (exercice 21) : la condition de Cauchy échoue avec $\varepsilon = \frac{1}{4}$, $p = 2n$ et $q = n$. $$\boxed{(H_{n}) \text{ n'est pas de Cauchy}}$$ La condition de Cauchy porte sur tous les couples d'indices assez grands, et pas seulement sur les indices consécutifs.

4. Pour $p \geqslant q$, les décimaux $d_{p}$ et $d_{q}$ sont dans $[d_{q}\,,d_{q} + 10^{-q}[$, donc $|d_{p} - d_{q}| < 10^{-q}$ : la suite est de Cauchy. Si elle convergeait vers un rationnel $r$, $r$ serait aussi sa limite dans $\mathbb{R}$, c'est-à-dire $\sqrt{2}$, qui n'est pas rationnel. $$\boxed{\mathbb{Q} \text{ n'est pas complet}}$$ C'est exactement la situation qui gênait Dedekind : la suite croissante et majorée des $d_{n}$ « devrait » converger, mais sa limite manque dans $\mathbb{Q}$.

5. On procède par dichotomie : on pose $c = \frac{a_{n} + b_{n}}{2}$ ; si $c$ majore $A$, on prend $a_{n+1} = a_{n}$ et $b_{n+1} = c$ ; sinon, il existe $a \in A$ tel que $a > c$, et l'on prend $a_{n+1} = a$ et $b_{n+1} = b_{n}$. Dans les deux cas $b_{n+1} - a_{n+1} \leqslant \frac{1}{2}(b_{n} - a_{n})$. La suite $(b_{n})$ est décroissante, et tout $a_{n}$, élément de $A$, minore tout $b_{p}$ ; donc, pour $p \geqslant q$, $$0 \leqslant b_{q} - b_{p} \leqslant b_{q} - a_{q} \leqslant \frac{b_{0} - a_{0}}{2^{q}} \leqslant \frac{b_{0} - a_{0}}{q},$$ qui est inférieur à $\varepsilon$ pour $q$ assez grand, par la propriété d'Archimède. La suite $(b_{n})$ est de Cauchy ; soit $\beta$ sa limite. Tout $a \in A$ vérifie $a \leqslant b_{n}$, donc $a \leqslant \beta$ par passage à la limite ; et $a_{n} \geqslant b_{n} - \frac{b_{0} - a_{0}}{2^{n}}$ tend vers $\beta$. D'après la proposition 13 du cours : $$\boxed{\beta = \sup A}$$ Dans un corps ordonné archimédien, la propriété de la borne supérieure et la convergence des suites de Cauchy sont donc équivalentes : ce sont deux formulations de la complétude de $\mathbb{R}$, qui correspondent aux deux constructions de Dedekind et de Cantor.