Exercice 48

1. Les termes $\frac{1}{q_{j}}$ sont strictement positifs et de somme $r$, donc chacun est inférieur ou égal à $r$ : $$\boxed{q_{j} \geqslant \frac{1}{r} \text{ pour tout } j}$$ 2. (a) On a $\frac{1}{q} \leqslant x$ si et seulement si $q \geqslant \frac{b}{a}$. L'ensemble des entiers naturels non nuls supérieurs ou égaux à $\frac{b}{a}$ contient $b$, puisque $a \geqslant 1$ ; partie non vide de $\mathbb{N}$, il a un plus petit élément $q$ (chapitre 1). Par minimalité, $q - 1 < \frac{b}{a}$, ce qui est évident si $q = 1$. Ainsi $a(q - 1) < b \leqslant aq$, et la réduction au même dénominateur donne : $$\boxed{x - \frac{1}{q} = \frac{aq - b}{bq}, \qquad 0 \leqslant aq - b < a}$$ (b) Si $x < 1$, alors $\frac{1}{1} > x$, donc $q \neq 1$. Par minimalité de $q$, on a $\frac{1}{q - 1} > x$, d'où : $$\boxed{q \geqslant 2, \qquad x - \frac{1}{q} < \frac{1}{q - 1} - \frac{1}{q} = \frac{1}{q(q - 1)}}$$ (c) On démontre par récurrence forte sur $a \geqslant 1$ la propriété : « pour tout entier $b \geqslant a$, le rationnel $\frac{a}{b}$ admet une écriture égyptienne ». Pour $a = 1$, c'est clair. Soit $a \geqslant 2$ tel que la propriété soit vraie pour tous les entiers de $[\![1\,;a - 1]\!]$, et $b \geqslant a$. Si $b = a$, alors $x = \frac{1}{1}$. Sinon $x < 1$ ; si $aq = b$, alors $x = \frac{1}{q}$. Dans le cas restant, $a' = aq - b$ appartient à $[\![1\,;a - 1]\!]$ d'après (a), et $y = x - \frac{1}{q} = \frac{a'}{bq}$ est strictement compris entre $0$ et $1$, donc $a' \leqslant bq$. L'hypothèse de récurrence fournit une écriture égyptienne de $y$, dont les dénominateurs vérifient, d'après la question 1 et (b), $$q' \geqslant \frac{1}{y} > q(q - 1) \geqslant q.$$ En ajoutant $\frac{1}{q}$ en tête, on obtient une écriture égyptienne de $x$. $$\boxed{\text{tout rationnel de } ]0\,,1] \text{ admet une écriture égyptienne}}$$ Pour $x = \frac{4}{5}$, on trouve $q = 2$ et $\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$, puis $q = 4$ et $\frac{3}{10} - \frac{1}{4} = \frac{1}{20}$ ; les numérateurs $4$, $3$, $1$ décroissent strictement, comme le prévoit (a). $$\boxed{\frac{4}{5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{20}}$$ 3. L'ensemble $E = \{m \in \mathbb{N} \mid H_{m} \leqslant r\}$ contient $0$. Comme $H_{m} \xrightarrow[m \to +\infty]{} +\infty$ (exercice 21), il existe $M$ tel que $H_{m} > r$ pour $m \geqslant M$ : la partie $E$ est contenue dans $[\![0\,;M - 1]\!]$, donc finie et non vide, et elle a un plus grand élément $m$. Comme $H_{m+1} > r$, le rationnel $y = r - H_{m}$ vérifie $0 \leqslant y < \frac{1}{m + 1}$. Si $y = 0$, alors $m \geqslant 1$ puisque $r > 0$, et $r = \frac{1}{1} + \cdots + \frac{1}{m}$. Sinon, $y \in \,]0\,,1[$ admet une écriture égyptienne d'après la question 2, dont les dénominateurs vérifient $q' \geqslant \frac{1}{y} > m + 1$ d'après la question 1 ; on la place après $\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{m}$. $$\boxed{\text{tout rationnel } r > 0 \text{ admet une écriture égyptienne}}$$ Pour $r = 2$, on a $H_{3} = \frac{11}{6} \leqslant 2 < H_{4} = \frac{25}{12}$, donc $m = 3$ et $y = \frac{1}{6}$. $$\boxed{2 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}}$$ 4. Soit une écriture égyptienne de $r$, de plus grand dénominateur $q_{s}$. Si $q_{s} \geqslant 2$, l'égalité $$\frac{1}{q_{s}} = \frac{1}{q_{s} + 1} + \frac{1}{q_{s}(q_{s} + 1)}, \qquad\text{avec}\qquad q_{s} < q_{s} + 1 < q_{s}(q_{s} + 1),$$ fournit une écriture égyptienne de $r$ à $s + 1$ termes. Si $q_{s} = 1$, l'écriture est $r = \frac{1}{1}$, et l'on utilise $1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$. En itérant, on obtient des écritures ayant $s$, $s + 1$, $s + 2$, … termes, deux à deux distinctes. $$\boxed{\text{tout rationnel } r > 0 \text{ admet une infinité d'écritures égyptiennes}}$$ Les scribes de l'Égypte ancienne écrivaient ainsi leurs fractions, d'où le nom ; la méthode gloutonne de la question 2 est décrite par Fibonacci dans son Liber abaci, en 1202. Elle peut produire des dénominateurs gigantesques : pour $\frac{5}{121}$, elle s'arrête au cinquième terme, de dénominateur $1\,527\,612\,795\,642\,093\,418\,846\,225$, alors que $\frac{5}{121} = \frac{1}{33} + \frac{1}{121} + \frac{1}{363}$.

À retenir : le seul ingrédient d'analyse est la divergence de la suite harmonique, qui garantit qu'on peut « consommer » n'importe quel rationnel avec des fractions $\frac{1}{k}$ distinctes ; le reste est de l'arithmétique des entiers, où la décroissance stricte des numérateurs assure la terminaison de l'algorithme.