Exercice 47

1. Pour $n > N$, on coupe la somme en deux et l'on applique l'inégalité triangulaire : $$|c_{n}| \leqslant \frac{|u_{1} + \cdots + u_{N}|}{n} + \frac{1}{n}\sum_{k=N+1}^{n} |u_{k}| \leqslant \frac{|u_{1} + \cdots + u_{N}|}{n} + \frac{n - N}{n}\,\varepsilon.$$ Le premier terme, où $N$ est fixé, tend vers $0$ : il est inférieur à $\varepsilon$ à partir d'un rang $N'$, et $|c_{n}| \leqslant 2\varepsilon$ pour $n \geqslant \max(N, N') + 1$. Si $u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell$, on applique ce résultat à $(u_{n} - \ell)$, dont la moyenne est $c_{n} - \ell$. $$\boxed{u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell \implies c_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell}$$ 2. Soit $A > 0$, et $N$ tel que $u_{n} \geqslant 3A$ pour $n > N$. Pour $n \geqslant 2N$, on a $\frac{n - N}{n} \geqslant \frac{1}{2}$, d'où $$c_{n} \geqslant \frac{u_{1} + \cdots + u_{N}}{n} + \frac{3A}{2},$$ et le premier terme est supérieur à $-\frac{A}{2}$ à partir d'un certain rang : $c_{n} \geqslant A$. $$\boxed{u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty \implies c_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty}$$

3. Pour $u_{n} = (-1)^{n}$, on a $|c_{n}| \leqslant \frac{1}{n}$, donc $c_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$, alors que $(u_{n})$ diverge. Si $(u_{n})$ est croissante et $c_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell$, elle est majorée, sinon elle tendrait vers $+\infty$ et $(c_{n})$ aussi d'après la question 2 ; elle converge donc vers un réel $\ell'$, et la question 1 donne $\ell' = \ell$. Le cas décroissant est symétrique. $$\boxed{\text{réciproque fausse en général, vraie pour une suite monotone}}$$ 4. La suite $v_{k} = u_{k+1} - u_{k}$ tend vers $a$ ; la moyenne de ses $n$ premiers termes, $\frac{u_{n} - u_{0}}{n}$, tend donc vers $a$, et $\frac{u_{0}}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. $\boxed{\frac{u_{n}}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} a}$

Avec $u_{n} = \ln(n!) - n\ln n$, on a $u_{n+1} - u_{n} = -n\ln\big(1 + \frac{1}{n}\big)$, et l'encadrement de l'exercice 21 donne $\frac{n}{n + 1} \leqslant n\ln\big(1 + \frac{1}{n}\big) \leqslant 1$, d'où $u_{n+1} - u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} -1$, puis $\frac{u_{n}}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} -1$. Ainsi $$\frac{\ln(n!)}{n\ln n} = 1 + \frac{u_{n}}{n} \cdot \frac{1}{\ln n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \boxed{1}.$$ La convergence est lente : pour $n = 1000$, le quotient vaut environ $0{,}856$. Le chapitre 10 donnera la formule de Stirling, beaucoup plus précise.