Exercice 1

Toutes ces limites se ramènent aux opérations du théorème 2 du cours, après une transformation qui lève la forme indéterminée : réduction au même dénominateur, quantité conjuguée, mise en facteur du terme dominant, ou encadrement.

(a) On réduit au même dénominateur : pour $x \neq \pm 1$, $$\frac{1}{1 - x} - \frac{2}{(1 - x)(1 + x)} = \frac{x - 1}{(1 - x)(1 + x)} = -\frac{1}{1 + x},$$ qui tend vers $-\frac{1}{2}$ quand $x$ tend vers $1$ : $\boxed{\text{la limite vaut } -\frac{1}{2}}$. (b) On factorise $x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$ : l'expression vaut $\frac{1}{\sqrt{x} + 1}$, et $$\boxed{\text{la limite vaut } \frac{1}{2}}.$$ C'est aussi le taux d'accroissement de la racine carrée en $1$, de dérivée $\frac{1}{2\sqrt{1}}$.

(c) Par la quantité conjuguée, pour $x > 0$, $$\sqrt{x^{2} + 2x} - x = \frac{2x}{\sqrt{x^{2} + 2x} + x} = \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1} \xrightarrow[x \to +\infty]{} \boxed{1}.$$ (d) De même, $\sqrt{x + \sqrt{x}} - \sqrt{x} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + 1/\sqrt{x}} + 1}$, qui tend vers $\boxed{\frac{1}{2}}$.

(e) On multiplie par la quantité conjuguée du numérateur : $$\frac{\sqrt{2x^{2} + 5x + 9} - 3}{x} = \frac{2x^{2} + 5x}{x\big(\sqrt{2x^{2} + 5x + 9} + 3\big)} = \frac{2x + 5}{\sqrt{2x^{2} + 5x + 9} + 3} \xrightarrow[x \to 0]{} \boxed{\frac{5}{6}}.$$ (f) On multiplie numérateur et dénominateur par les deux quantités conjuguées : $$\sqrt{x + 3} - \sqrt{4x + 3} = \frac{-3x}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{4x + 3}}, \qquad \sqrt{x + 4} - \sqrt{2x + 4} = \frac{-x}{\sqrt{x + 4} + \sqrt{2x + 4}}.$$ Le quotient vaut donc $3\,\dfrac{\sqrt{x + 4} + \sqrt{2x + 4}}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{4x + 3}}$ ; en divisant par $\sqrt{x}$ en haut et en bas, il tend vers $3 \times \frac{1 + \sqrt{2}}{1 + 2}$, soit $\boxed{1 + \sqrt{2}}$.

(g) On factorise par $x$ : $\dfrac{1 + \frac{\cos x}{x}}{1 + \frac{\sin x}{x}}$, et $\frac{\cos x}{x}$, $\frac{\sin x}{x}$ tendent vers $0$ en $+\infty$, comme produits d'une fonction bornée par une fonction de limite nulle. La limite vaut $\boxed{1}$.

(h) Le numérateur est borné par $4 + 3 = 7$ : l'expression est majorée en valeur absolue par $\frac{7}{x}$, et l'encadrement (théorème 5) donne $\boxed{0}$.

(i) De même, $\Big|\dfrac{x\sin(x^{2})}{1 + x^{2}}\Big| \leqslant \dfrac{x}{1 + x^{2}} \leqslant \dfrac{1}{x}$ pour $x > 0$, d'où $\boxed{0}$. L'oscillation de $\sin(x^{2})$ ne gêne pas, car elle est écrasée par le facteur qui tend vers $0$.

(j) On pose $t = x^{2}$ : $x^{5}\mathrm{e}^{-x^{2}} = t^{5/2}\mathrm{e}^{-t}$, qui tend vers $0$ quand $t \to +\infty$ par croissances comparées (chapitre 5). Par composition (théorème 3), $$\boxed{\lim\limits_{x \to +\infty} x^{5}\mathrm{e}^{-x^{2}} = 0}.$$

(k) On met en facteur les termes dominants : $$\frac{\mathrm{e}^{3x} + 2x + 7}{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}} = \mathrm{e}^{2x}\,\frac{1 + (2x + 7)\mathrm{e}^{-3x}}{1 + \mathrm{e}^{-2x}},$$ où la fraction tend vers $1$ : $$\boxed{\text{la limite vaut } +\infty}.$$

(l) On divise numérateur et dénominateur par $\sqrt{x}$ : $$\frac{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}}{\sqrt{x + 1}} = \frac{\sqrt{1 + \sqrt{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3/2}}}}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}}} \xrightarrow[x \to +\infty]{} \boxed{1}.$$

À retenir. Toutes ces valeurs ont été vérifiées numériquement. Avant tout calcul, on identifie le type de forme indéterminée : c'est lui qui dicte la transformation.