Feuille d'exercicesMaths Sup – MPSI, chapitre 8

Limites et continuité

57 exercices corrigés · 11   31   14   1

Limite d'une fonction en un point

• Exercice 1 Étudier l'existence et donner la valeur éventuelle des limites suivantes. (a) 1/(1 - x) - 2/(1 - x^2) en 1 (b) (√x - 1)/(x - 1) en 1 (c) √(x^2 + 2x)…
• Exercice 2 Calculer les limites suivantes, en faisant apparaître un taux d'accroissement ou une limite usuelle du cours. (a) (1 + 1/x)^x en +∞ (b) (1 +…
• Exercice 3 Étudier les limites à droite et à gauche en 0 des fonctions f: x ↦ lfloor 1/x rfloor, g: x ↦ x lfloor 1/x rfloor et h: x ↦ x^2 lfloor 1/x rfloor.…
• Exercice 4 Revenir à la définition. 1. Écrire avec des quantificateurs la phrase « f ne tend pas vers +∞ en +∞ », puis montrer que la fonction x ↦ xsin x ne…
• Exercice 5 Montrer que les fonctions suivantes n'ont pas de limite en +∞: x ↦ cos (x^2), x ↦ x - lfloor x rfloor et x ↦ (xcos x)/(1 + |x|). Montrer en revanche…
• Exercice 6 Soit f: ℝ → ℝ et ell ∈ ℝ. Montrer que lim _(x → 0) f(x) = ell si et seulement si lim _(x → 0) f(sin x) = ell. On pourra utiliser la fonction Arcsin…
• Exercice 7 Soit f: ℝ → ]0,+∞[ une fonction telle que lim _(x → 0) (f(x) + 1/(f(x))) = 2. Montrer que lim _(x → 0) f(x) = 1. On pourra commencer par montrer que…
• Exercice 8 Limite monotone. 1. Soit f: ℝ → ℝ croissante, et (xi _n) une suite telle que lim _(n → +∞) xi _n = +∞ et lim _(n → +∞) f(xi _n) = ell ∈ ℝ. Montrer…
• Exercice 9 Soit f: ℝ → ℝ une fonction périodique. Montrer que f admet une limite finie en +∞ si et seulement si f est constante. Application: soit a et b deux…
• Exercice 10 Une condition qui ne force pas la limite. Soit f: ℝ → ℝ telle que lim _(x → 0) f(x)f(2x) = 0. 1. On suppose que f admet une limite ell ∈ overline ℝ…
• Exercice 11 Soit f: [0,+∞[ → [0,+∞[ une fonction croissante telle que lim _(x → +∞) (f(x + 1) - f(x)) = 0. 1. Soit ε > 0 et A tel que f(x + 1) - f(x) ≤ ε pour x…
• Exercice 12 Discontinuités d'une fonction monotone. Soit f: ℝ → ℝ une fonction croissante, et D l'ensemble des points en lesquels f n'est pas continue. 1. Pour…

Continuité en un point

• Exercice 13 Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes, étudier leur continuité et leurs éventuels prolongements par continuité. (a) x ↦…
• Exercice 14 Étudier la continuité des fonctions suivantes sur ℝ, et tracer leur courbe sur [-2,3]. f: x ↦ lfloor x rfloor + (x - lfloor x rfloor)^2 et g: x ↦…
• Exercice 15 1. Montrer que si f: I → ℝ est continue en a, alors |f| l'est aussi. Étudier la réciproque. 2. Soit f et g deux fonctions continues sur I. Exprimer…
• Exercice 16 Points de continuité. Construire, en s'inspirant des fonctions de la section 8.3 du cours, une fonction f: ℝ → ℝ (a) continue en 1 et en 2, et en…
• Exercice 17 Prolongement d'inégalités. Soit f et g deux fonctions continues sur ℝ. 1. On suppose que f(x) < g(x) pour tout rationnel x. Montrer que f(x) ≤ g(x)…
• Exercice 18 Trouver l'erreur. Un élève veut montrer que toute fonction f: ℝ → ℝ continue en 0 et telle que f(2x) = f(x) pour tout réel x est constante. Il…
• Exercice 19 Déterminer les fonctions continues f: ℝ → ℝ telles que f(2x) - f(x) = x pour tout réel x. 1. Soit f une telle fonction. Montrer que, pour tout réel…
• Exercice 20 Soit f: ]0,+∞[ → ℝ une fonction croissante telle que x ↦ (f(x))/x soit décroissante. Montrer que f est continue. On pourra encadrer f(x) pour x…
• Exercice 21 Équation de Jensen. On cherche les fonctions continues f: ℝ → ℝ telles que ∀ (x, y) ∈ ℝ^2, f ((x + y)/2) = (f(x) + f(y))/2. 1. Vérifier que les…
• Exercice 22 La fonction de Thomae. On définit f: ℝ → ℝ par f(x) = 0 si x est irrationnel, et f (p/q) = 1/q si p/q est l'écriture irréductible d'un rationnel,…

Fonctions continues sur un intervalle

• Exercice 23 Soit f: x ↦ x^3 - 3x^2 - 1. Discuter, selon la valeur du réel a, le nombre de solutions réelles de l'équation f(x) = a.
• Exercice 24 1. Montrer que l'équation x^3 + x^2 - 4x + 1 = 0 admet exactement trois solutions réelles, et donner pour chacune un intervalle d'extrémités…
• Exercice 25 Montrer que l'équation cos x = 1/x admet une infinité de solutions dans ]0,+∞[. On pourra chercher une solution dans chaque intervalle [2kπ,2kπ +…
• Exercice 26 Soit a un réel. On considère l'équation (E_a): ln x = ax, d'inconnue x > 0. 1. Montrer que, si a ≤ 0, l'équation (E_a) admet une unique solution, et…
• Exercice 27 Soit I un intervalle. 1. Montrer que toute fonction continue f: I → ℤ est constante. 2. Soit f: ℝ → ℝ continue telle que f(x)^2 = 1 pour tout réel…
• Exercice 28 Moyennes. Soit f: [a,b] → ℝ continue. 1. Soit p et q deux réels strictement positifs. Montrer qu'il existe c ∈ [a,b] tel que pf(a) + qf(b) = (p +…
• Exercice 29 Points fixes. Montrer que les fonctions suivantes admettent un point fixe. 1. Une fonction continue f: [a,b] → ℝ telle que [a,b] ⊂ f([a,b]). 2. Une…
• Exercice 30 Une suite définie implicitement. 1. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, l'équation tan x = x admet une unique solution x_n dans l'intervalle ]nπ - π/2,nπ…
• Exercice 31 1. Soit f: ℝ → ℝ continue telle que lim _(x → -∞) f(x) = lim _(x → +∞) f(x) = ell, avec ell réel. Montrer que f n'est pas injective. 2. Même…
• Exercice 32 La réciproque du théorème des valeurs intermédiaires est fausse. Soit f: [0,1] → ℝ définie par f(0) = 0 et f(x) = sin 1/x pour x > 0. 1. Montrer que…
• Exercice 33 Soit x_1 < x_2 < … < x_n des réels, et φ: x ↦ Σ _(k=1)^n |x - x_k|. 1. Montrer que φ est continue, et que lim _(x → ±∞) φ(x) = +∞. En déduire que φ…
• Exercice 34 Bornes atteintes. 1. Soit f et g continues sur [a,b], telles que f(x) < g(x) pour tout x ∈ [a,b]. Montrer qu'il existe ε > 0 tel que f(x) + ε ≤ g(x)…
• Exercice 35 Soit f: [0,+∞[ → ℝ continue. Pour x ≥ 0, on pose M(x) = sup _(t ∈ [0,x]) f(t). 1. Justifier l'existence de M(x), et montrer que M est croissante. 2.…
• Exercice 36 Deux fonctions qui se croisent. Soit f et g deux fonctions continues sur [a,b]. 1. On suppose que max _([a,b]) f = max _([a,b]) g. Montrer qu'il…
• Exercice 37 Le théorème de la corde universelle. Soit f: [0,1] → ℝ continue telle que f(0) = f(1). 1. Soit n ≥ 2 et g: x ↦ f (x + 1/n) - f(x), définie sur [0,1…
• Exercice 38 Points antipodaux. Soit f: ℝ → ℝ continue et 1 -périodique. 1. Montrer qu'il existe x_0 ∈ ℝ tel que f (x_0 + 1/2) = f(x_0). 2. En déduire qu'il…
• Exercice 39 Soit f: x ↦ ln (e^x + 2). 1. Déterminer le domaine de définition de f, ses limites en ±∞ et son sens de variation. 2. Montrer que f réalise une…
• Exercice 40 Involutions continues. 1. Soit f: [0,+∞[ → [0,+∞[ continue telle que f ∘ f = id. Montrer que f est bijective et strictement monotone, puis que f est…
• Exercice 41 Plus petite période. Soit f: ℝ → ℝ une fonction continue, périodique et non constante. On note A = tau > 0 mid ∀ x ∈ ℝ, f(x + tau) = f(x) l'ensemble…

Continuité uniforme et fonctions lipschitziennes

• Exercice 42 Montrer que les fonctions suivantes sont lipschitziennes, et donner une constante de Lipschitz. (a) x ↦ √(1 + x^2) sur ℝ (b) x ↦ 1/x sur [1,+∞[ (c)…
• Exercice 43 1. Montrer que le produit de deux fonctions lipschitziennes sur [0,1] est lipschitzien. 2. Le résultat subsiste-t-il sur ℝ ? Et si l'on suppose de…
• Exercice 44 En appliquant la méthode du cours, montrer que les fonctions suivantes ne sont pas uniformément continues: x ↦ sin (x^2) sur ℝ, x ↦ ln x sur ]0,1],…
• Exercice 45 1. Soit f: [0,+∞[ → ℝ continue, admettant une limite finie ell en +∞. Montrer que f est uniformément continue. On pourra séparer le cas de deux…
• Exercice 46 Croissance au plus affine. Soit f: ℝ → ℝ uniformément continue. 1. Soit δ > 0 associé à ε = 1 dans la définition de la continuité uniforme. Montrer…
• Exercice 47 Soit f: [0,1] → ℝ continue. On pose, pour n ≥ 1, u_n = 1/n Σ_(k=1)^n (-1)^k f (k/n). 1. Calculer u_n lorsque f est constante, puis lorsque f = id.…

Fonctions à valeurs complexes

• Exercice 48 Étudier l'existence des limites suivantes, en 0. (a) (e^(i t) - 1)/t (b) t e^(i/t) (c) e^(i/t) (d) (e^(i t) - e^(- i t))/(e^t - e^(-t))
• Exercice 49 Soit f: [a,b] → ℂ continue. 1. Montrer que |f| est continue, que f est bornée, et que |f| atteint ses bornes. 2. On suppose que f ne s'annule pas.…

Exercices de synthèse

• Exercice 50 Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par une démonstration ou un contre-exemple. 1. Si f admet une limite en a et que g n'en admet pas, alors f +…
• Exercice 51 Les fonctions qui conservent les longueurs. On cherche les fonctions continues f: ℝ → ℝ telles que, pour tous réels a < b, le segment f([a,b]) ait…
• Exercice 52 Échanger les rationnels et les irrationnels. On veut montrer qu'il n'existe pas de fonction continue f: ℝ → ℝ telle que f(ℚ) ⊂ ℝ setminus ℚ et f(ℝ…
• Exercice 53 Une équation fonctionnelle et le nombre d'or. On cherche les fonctions continues f: ℝ → ℝ telles que ∀ x ∈ ℝ, f (f(x)) = f(x) + x. On note φ = (1 +…
• Exercice 54 Fonctions qui commutent. Soit f et g deux fonctions continues de [0,1] dans [0,1] telles que f ∘ g = g ∘ f. On veut montrer qu'il existe c ∈ [0,1]…
• Exercice 55 Soit f: [0,1] → ℝ continue telle que f(0) = f(1) = 0 et ∀ x ∈ [0, 7/10 ], f (x + 3/10) ≠ f(x). 1. Montrer que la fonction x ↦ f (x + 3/10) - f(x)…
• Exercice 56 Soit f: [0,+∞[ → ℝ continue et surjective. Montrer que f prend chaque valeur réelle une infinité de fois. On pourra raisonner par l'absurde en…
• Exercice 57 Au plus deux antécédents. Soit f: ℝ → ℝ continue telle que tout réel ait au plus deux antécédents par f. On veut montrer qu'un réel au moins a…