Exercice 55

1. La fonction $h : x \mapsto f\big(x + \frac{3}{10}\big) - f(x)$ est continue et ne s'annule pas sur l'intervalle $\big[0\,,\frac{7}{10}\big]$ : elle garde un signe constant strict (proposition 15). Quitte à changer $f$ en $-f$, on la suppose strictement positive.

2. On progresse de $\frac{3}{10}$ en $\frac{3}{10}$, à partir de $0$ vers la droite et à partir de $1$ vers la gauche : $$0 = f(0) < f\Big(\frac{3}{10}\Big) < f\Big(\frac{6}{10}\Big) < f\Big(\frac{9}{10}\Big) \qquad\text{et}\qquad f\Big(\frac{1}{10}\Big) < f\Big(\frac{4}{10}\Big) < f\Big(\frac{7}{10}\Big) < f(1) = 0.$$

3. Les signes en $\frac{1}{10}, \frac{3}{10}, \frac{4}{10}, \frac{6}{10}, \frac{7}{10}, \frac{9}{10}$ alternent : $-, +, -, +, -, +$. Le théorème des valeurs intermédiaires fournit un zéro dans chacun des cinq intervalles ouverts disjoints $$\Big]\frac{1}{10}\,,\frac{3}{10}\Big[, \quad \Big]\frac{3}{10}\,,\frac{4}{10}\Big[, \quad \Big]\frac{4}{10}\,,\frac{6}{10}\Big[, \quad \Big]\frac{6}{10}\,,\frac{7}{10}\Big[, \quad \Big]\frac{7}{10}\,,\frac{9}{10}\Big[,$$ auxquels s'ajoutent $0$ et $1$. $$\boxed{f \text{ s'annule au moins sept fois}}$$

À retenir. C'est une version quantitative de l'exercice 37 : si $f(x + \alpha) \neq f(x)$ pour tout $x$, la fonction est contrainte d'osciller. Le nombre $\frac{3}{10}$ n'étant pas l'inverse d'un entier, la situation n'est pas contradictoire.